Страница 93 номер 11.24, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
В зависимости от значения параметра \(a\) определите количество корней уравнения: 1) \((x - a)\sqrt[4]{x + 1} = 0\); 2) \((x - a)(\sqrt[4]{x} + 1) = 0\); 3) \((x - a)(\sqrt[4]{x} - 1) = 0\).
1) ОДЗ: \(x + 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -1\); при этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x = a, \\ x = -1. \end{array}\right.\)
Число \(-1\) условию удовлетворяет — это корень при любом \(a\). Число \(a\) — корень тогда и только тогда, когда \(a \geqslant -1\); при \(a = -1\) оно совпадает с корнем \(-1\), при \(a > -1\) отлично от него.
Значит, при \(a \leqslant -1\) один корень \(x = -1\), при \(a > -1\) два корня: \(x = -1\) и \(x = a\).
2) ОДЗ: \(x \geqslant 0\), и тогда \(\sqrt[4]{x} \geqslant 0\), поэтому \(\sqrt[4]{x} + 1 \geqslant 1\): второй множитель в нуль не обращается, остаётся \(x = a\).
При \(a < 0\) условию \(x \geqslant 0\) число \(a\) не удовлетворяет — корней нет; при \(a \geqslant 0\) единственный корень \(x = a\).
3) ОДЗ: \(x \geqslant 0\); уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x - a = 0, \\ \sqrt[4]{x} - 1 = 0. \end{array}\right.\)
Из второго уравнения \(\sqrt[4]{x} = 1\), то есть \(x = 1^4 = 1\); условию удовлетворяет — это корень при любом \(a\). Число \(a\) — корень тогда и только тогда, когда \(a \geqslant 0\); при \(a = 1\) оно совпадает с корнем \(1\).
Значит, при \(a < 0\) один корень \(x = 1\); при \(a = 1\) тоже один корень \(x = 1\); при \(0 \leqslant a < 1\) и при \(a > 1\) два корня: \(x = 1\) и \(x = a\).
Ответ: 1) если \(a \leqslant -1\), то один корень; если \(a > -1\), то два корня; 2) если \(a < 0\), то корней нет; если \(a \geqslant 0\), то один корень; 3) если \(a < 0\) или \(a = 1\), то один корень; если \(0 \leqslant a < 1\) или \(a > 1\), то два корня.
В зависимости от значения параметра \(a\) определите количество корней уравнения: 1) \((x - a)\sqrt[4]{x + 1} = 0\); 2) \((x - a)(\sqrt[4]{x} + 1) = 0\); 3) \((x - a)(\sqrt[4]{x} - 1) = 0\).
1) Выражение \(\sqrt[4]{x + 1}\) имеет смысл при \(x + 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\). При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x - a = 0, \\ \sqrt[4]{x + 1} = 0; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = a, \\ x = -1. \end{array}\right.\)
Число \(-1\) удовлетворяет условию \(x \geqslant -1\), поэтому оно является корнем уравнения при любом значении \(a\).
Число \(a\) является корнем тогда и только тогда, когда \(a \geqslant -1\). При \(a = -1\) оно совпадает с уже найденным корнем \(-1\), а при \(a > -1\) отлично от него.
Значит, при \(a \leqslant -1\) уравнение имеет один корень \(x = -1\), а при \(a > -1\) — два корня: \(x = -1\) и \(x = a\).
2) Выражение \(\sqrt[4]{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), и тогда \(\sqrt[4]{x} \geqslant 0\), поэтому \(\sqrt[4]{x} + 1 \geqslant 1\). Значит, второй множитель в нуль не обращается, и при \(x \geqslant 0\) уравнение равносильно уравнению \(x - a = 0\), то есть \(x = a\).
Если \(a < 0\), то условию \(x \geqslant 0\) число \(a\) не удовлетворяет и корней нет. Если \(a \geqslant 0\), то уравнение имеет единственный корень \(x = a\).
3) Выражение \(\sqrt[4]{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\). При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x - a = 0, \\ \sqrt[4]{x} - 1 = 0. \end{array}\right.\)
Из второго уравнения \(\sqrt[4]{x} = 1\); по определению арифметического корня это означает, что \(x = 1^4 = 1\). Число \(1\) удовлетворяет условию \(x \geqslant 0\), поэтому оно является корнем уравнения при любом значении \(a\).
Число \(a\) является корнем тогда и только тогда, когда \(a \geqslant 0\). При \(a = 1\) оно совпадает с корнем \(1\).
Значит, при \(a < 0\) уравнение имеет один корень \(x = 1\); при \(a = 1\) — тоже один корень \(x = 1\); при \(0 \leqslant a < 1\) и при \(a > 1\) — два корня: \(x = 1\) и \(x = a\).
Ответ: 1) если \(a \leqslant -1\), то один корень; если \(a > -1\), то два корня; 2) если \(a < 0\), то корней нет; если \(a \geqslant 0\), то один корень; 3) если \(a < 0\) или \(a = 1\), то один корень; если \(0 \leqslant a < 1\) или \(a > 1\), то два корня.
