Страница 93 номер 11.23, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt[10]{x + 2} > 1\); 2) \(\sqrt[4]{5x + 1} < 3\); 3) \(\sqrt[8]{x^2 - |x| + 1} > \sqrt[8]{5 - |x|}\).
1) \(1 = \sqrt[10]{1}\), поэтому \(\sqrt[10]{x + 2} > \sqrt[10]{1}\). Функция \(y = \sqrt[10]{t}\) возрастает на \([0;\ +\infty)\), поэтому \(\begin{cases} x + 2 > 1, \\ 1 \geqslant 0. \end{cases}\) Второе неравенство системы верно, поэтому \(x > -1\).
2) \(3 = \sqrt[4]{81}\), поэтому \(\sqrt[4]{5x + 1} < \sqrt[4]{81}\). Функция \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастает на \([0;\ +\infty)\), поэтому \(\begin{cases} 5x + 1 < 81, \\ 5x + 1 \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x < 16, \\ x \geqslant -\frac{1}{5}, \end{cases}\) откуда \(-\frac{1}{5} \leqslant x < 16\).
3) Функция \(y = \sqrt[8]{t}\) возрастает на \([0;\ +\infty)\), поэтому \(\begin{cases} x^2 - |x| + 1 > 5 - |x|, \\ 5 - |x| \geqslant 0. \end{cases}\)
Первое неравенство: \(x^2 - 4 > 0\), \((x - 2)(x + 2) > 0\), откуда \(x < -2\) или \(x > 2\).
Второе неравенство: \(|x| \leqslant 5\), то есть \(-5 \leqslant x \leqslant 5\).
Отсюда \(-5 \leqslant x < -2\) или \(2 < x \leqslant 5\).
Ответ: 1) \((-1;\ +\infty)\); 2) \(\left[-\frac{1}{5};\ 16\right)\); 3) \([-5;\ -2) \cup (2;\ 5]\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt[10]{x + 2} > 1\); 2) \(\sqrt[4]{5x + 1} < 3\); 3) \(\sqrt[8]{x^2 - |x| + 1} > \sqrt[8]{5 - |x|}\).
1) Так как \(1 = \sqrt[10]{1}\), имеем \(\sqrt[10]{x + 2} > \sqrt[10]{1}\).
Функция \(y = \sqrt[10]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому данное неравенство равносильно системе \(\begin{cases} x + 2 > 1, \\ 1 \geqslant 0. \end{cases}\)
Второе неравенство системы верно, поэтому \(x > -1\).
2) Так как \(3 = \sqrt[4]{81}\), имеем \(\sqrt[4]{5x + 1} < \sqrt[4]{81}\).
Функция \(y = \sqrt[4]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому данное неравенство равносильно системе \(\begin{cases} 5x + 1 < 81, \\ 5x + 1 \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x < 16, \\ x \geqslant -\frac{1}{5}. \end{cases}\)
Отсюда \(-\frac{1}{5} \leqslant x < 16\).
3) Функция \(y = \sqrt[8]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому данное неравенство равносильно системе \(\begin{cases} x^2 - |x| + 1 > 5 - |x|, \\ 5 - |x| \geqslant 0. \end{cases}\)
Первое неравенство системы: \(x^2 - |x| + 1 > 5 - |x|\), то есть \(x^2 - 4 > 0\), \((x - 2)(x + 2) > 0\), откуда \(x < -2\) или \(x > 2\).
Второе неравенство системы: \(|x| \leqslant 5\), то есть \(-5 \leqslant x \leqslant 5\).
Получаем \(\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x < -2, \\ x > 2, \end{array}\right. \\ -5 \leqslant x \leqslant 5. \end{cases}\)
Отсюда \(-5 \leqslant x < -2\) или \(2 < x \leqslant 5\).
Ответ: 1) \((-1;\ +\infty)\); 2) \(\left[-\frac{1}{5};\ 16\right)\); 3) \([-5;\ -2) \cup (2;\ 5]\).
