Страница 93 номер 11.22, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt[3]{3x + 1} < 4\); 2) \(\sqrt[8]{4x + 1} \leqslant 1\); 3) \(\sqrt[4]{x^2 - 8} > \sqrt[4]{2x}\).
1) \(4 = \sqrt[3]{64}\), поэтому \(\sqrt[3]{3x + 1} < \sqrt[3]{64}\). Функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастает на \(\mathbf{R}\), поэтому \(3x + 1 < 64\), \(3x < 63\), \(x < 21\).
2) \(1 = \sqrt[8]{1}\), поэтому \(\sqrt[8]{4x + 1} \leqslant \sqrt[8]{1}\). Функция \(y = \sqrt[8]{t}\) возрастает на \([0;\ +\infty)\), поэтому \(\begin{cases} 4x + 1 \leqslant 1, \\ 4x + 1 \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x \leqslant 0, \\ x \geqslant -\frac{1}{4}, \end{cases}\) откуда \(-\frac{1}{4} \leqslant x \leqslant 0\).
3) Функция \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастает на \([0;\ +\infty)\), поэтому \(\begin{cases} x^2 - 8 > 2x, \\ 2x \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x^2 - 2x - 8 > 0, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\)
Корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 8\) равны \(-2\) и \(4\), ветви параболы направлены вверх, поэтому \(x < -2\) или \(x > 4\); вместе с условием \(x \geqslant 0\) получаем \(x > 4\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 21)\); 2) \(\left[-\frac{1}{4};\ 0\right]\); 3) \((4;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt[3]{3x + 1} < 4\); 2) \(\sqrt[8]{4x + 1} \leqslant 1\); 3) \(\sqrt[4]{x^2 - 8} > \sqrt[4]{2x}\).
1) Так как \(4 = \sqrt[3]{64}\), данное неравенство можно записать в виде \(\sqrt[3]{3x + 1} < \sqrt[3]{64}\).
Функция \(y = \sqrt[3]{t}\) является возрастающей, её область определения — множество \(\mathbf{R}\), поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(3x + 1 < 64\). Отсюда \(3x < 63\), \(x < 21\).
2) Так как \(1 = \sqrt[8]{1}\), имеем \(\sqrt[8]{4x + 1} \leqslant \sqrt[8]{1}\).
Функция \(y = \sqrt[8]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому данное неравенство равносильно системе \(\begin{cases} 4x + 1 \leqslant 1, \\ 4x + 1 \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x \leqslant 0, \\ x \geqslant -\frac{1}{4}. \end{cases}\)
Отсюда \(-\frac{1}{4} \leqslant x \leqslant 0\).
3) Функция \(y = \sqrt[4]{t}\) является возрастающей с областью определения \([0;\ +\infty)\), поэтому данное неравенство равносильно системе \(\begin{cases} x^2 - 8 > 2x, \\ 2x \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x^2 - 2x - 8 > 0, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\)
Корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 8\) равны \(-2\) и \(4\), ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому \(x^2 - 2x - 8 > 0\) при \(x < -2\) или \(x > 4\). Получаем \(\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x < -2, \\ x > 4, \end{array}\right. \\ x \geqslant 0. \end{cases}\)
Отсюда \(x > 4\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 21)\); 2) \(\left[-\frac{1}{4};\ 0\right]\); 3) \((4;\ +\infty)\).
