Страница 93 номер 11.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = \sqrt[3]{|x|}\) на промежутке: 1) \([2;\ 3]\); 2) \([-2;\ 1]\); 3) \((-\infty;\ 2)\).
1) На \([2;\ 3]\) все числа положительны, поэтому \(|x| = x\) и \(f(x) = \sqrt[3]{x}\).
Функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастает, поэтому наименьшее значение — в левом конце промежутка, наибольшее — в правом:
\[\begin{gathered} f(2) = \sqrt[3]{2}, \\ f(3) = \sqrt[3]{3}. \end{gathered}\]
2) Для \(x \in [-2;\ 1]\) верно \(0 \leqslant |x| \leqslant 2\), а \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастает, поэтому \(0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt[3]{2}\).
Обе оценки достигаются: \(f(0) = 0\) и \(f(-2) = \sqrt[3]{2}\), причём числа \(0\) и \(-2\) промежутку принадлежат. Наименьшее значение равно \(0\), наибольшее равно \(\sqrt[3]{2}\).
3) \(f(x) = \sqrt[3]{|x|} \geqslant 0\) при любом \(x\), а \(f(0) = 0\), причём \(0 \in (-\infty;\ 2)\), поэтому наименьшее значение равно \(0\).
Наибольшего значения нет: каким бы ни было \(x_0 < 2\), число \(x_1 = -\left(|x_0| + 1\right)\) также меньше \(2\) и \(|x_1| > |x_0|\), поэтому \(f(x_1) > f(x_0)\).
Ответ: 1) \(\max\limits_{[2;\ 3]} f(x) = \sqrt[3]{3}\), \(\min\limits_{[2;\ 3]} f(x) = \sqrt[3]{2}\); 2) \(\max\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = \sqrt[3]{2}\), \(\min\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = 0\); 3) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{(-\infty;\ 2)} f(x) = 0\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = \sqrt[3]{|x|}\) на промежутке: 1) \([2;\ 3]\); 2) \([-2;\ 1]\); 3) \((-\infty;\ 2)\).
1) Все числа промежутка \([2;\ 3]\) положительны, поэтому на этом промежутке \(|x| = x\) и \(f(x) = \sqrt[3]{x}\).
Функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастающая, поэтому наименьшее значение функция \(f\) принимает в левом конце промежутка, а наибольшее — в правом:
\[\begin{gathered} f(2) = \sqrt[3]{2}, \\ f(3) = \sqrt[3]{3}. \end{gathered}\]
2) Для любого \(x \in [-2;\ 1]\) выполняется двойное неравенство \(0 \leqslant |x| \leqslant 2\). Так как функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[3]{0} \leqslant \sqrt[3]{|x|} \leqslant \sqrt[3]{2}\), то есть \(0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt[3]{2}\).
Обе оценки достигаются: \(f(0) = 0\) и \(f(-2) = \sqrt[3]{2}\), причём числа \(0\) и \(-2\) принадлежат промежутку \([-2;\ 1]\). Значит, наименьшее значение равно \(0\), наибольшее равно \(\sqrt[3]{2}\).
3) Для любого \(x\) выполняется \(f(x) = \sqrt[3]{|x|} \geqslant 0\), а \(f(0) = 0\), причём \(0 \in (-\infty;\ 2)\). Значит, наименьшее значение функции на этом промежутке равно \(0\).
Наибольшего значения не существует. Действительно, каким бы ни было число \(x_0 < 2\), число \(x_1 = -\left(|x_0| + 1\right)\) также меньше \(2\), и \(|x_1| > |x_0|\), поэтому \(f(x_1) > f(x_0)\). Значит, ни одно значение функции не является наибольшим.
Ответ: 1) \(\max\limits_{[2;\ 3]} f(x) = \sqrt[3]{3}\), \(\min\limits_{[2;\ 3]} f(x) = \sqrt[3]{2}\); 2) \(\max\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = \sqrt[3]{2}\), \(\min\limits_{[-2;\ 1]} f(x) = 0\); 3) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{(-\infty;\ 2)} f(x) = 0\).
