Страница 93 номер 11.20, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = \sqrt[4]{|x|}\) на промежутке: 1) \([-3;\ -1]\); 2) \([-1;\ 2]\); 3) \([-3;\ +\infty)\).
1) На \([-3;\ -1]\) все числа отрицательны, поэтому \(|x| = -x\) и \(f(x) = \sqrt[4]{-x}\).
Пусть \(-3 \leqslant x_1 < x_2 \leqslant -1\); тогда \(-x_1 > -x_2 > 0\), а \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастает, поэтому \(f(x_1) > f(x_2)\): функция \(f\) убывает, наибольшее значение — в левом конце промежутка, наименьшее — в правом: \[\begin{gathered} f(-3) = \sqrt[4]{3}, \\ f(-1) = \sqrt[4]{1} = 1. \end{gathered}\]
2) Для \(x \in [-1;\ 2]\) верно \(0 \leqslant |x| \leqslant 2\), а \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастает, поэтому \(0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt[4]{2}\).
Обе оценки достигаются: \(f(0) = 0\) и \(f(2) = \sqrt[4]{2}\), причём числа \(0\) и \(2\) промежутку принадлежат. Наименьшее значение равно \(0\), наибольшее равно \(\sqrt[4]{2}\).
3) \(f(x) = \sqrt[4]{|x|} \geqslant 0\) при любом \(x\), а \(f(0) = 0\), причём \(0 \in [-3;\ +\infty)\), поэтому наименьшее значение равно \(0\).
Наибольшего значения нет: каким бы ни было \(x_0 \in [-3;\ +\infty)\), число \(x_1 = |x_0| + 1\) тоже принадлежит промежутку и \(|x_1| > |x_0|\), поэтому \(f(x_1) > f(x_0)\).
Ответ: 1) \(\max\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = \sqrt[4]{3}\), \(\min\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 1\); 2) \(\max\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = \sqrt[4]{2}\), \(\min\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = 0\); 3) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{[-3;\ +\infty)} f(x) = 0\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = \sqrt[4]{|x|}\) на промежутке: 1) \([-3;\ -1]\); 2) \([-1;\ 2]\); 3) \([-3;\ +\infty)\).
1) Все числа промежутка \([-3;\ -1]\) отрицательны, поэтому на этом промежутке \(|x| = -x\) и \(f(x) = \sqrt[4]{-x}\).
Пусть \(-3 \leqslant x_1 < x_2 \leqslant -1\). Тогда \(-x_1 > -x_2 > 0\), а так как функция \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[4]{-x_1} > \sqrt[4]{-x_2}\), то есть \(f(x_1) > f(x_2)\). Значит, на промежутке \([-3;\ -1]\) функция \(f\) убывает, поэтому наибольшее значение она принимает в левом конце промежутка, а наименьшее — в правом: \[\begin{gathered} f(-3) = \sqrt[4]{3}, \\ f(-1) = \sqrt[4]{1} = 1. \end{gathered}\]
2) Для любого \(x \in [-1;\ 2]\) выполняется двойное неравенство \(0 \leqslant |x| \leqslant 2\). Так как функция \(y = \sqrt[4]{t}\) возрастающая, то \(\sqrt[4]{0} \leqslant \sqrt[4]{|x|} \leqslant \sqrt[4]{2}\), то есть \(0 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt[4]{2}\).
Обе оценки достигаются: \(f(0) = \sqrt[4]{0} = 0\) и \(f(2) = \sqrt[4]{2}\), причём числа \(0\) и \(2\) принадлежат промежутку \([-1;\ 2]\). Значит, наименьшее значение равно \(0\) (оно достигается внутри промежутка), а наибольшее равно \(\sqrt[4]{2}\).
3) Для любого \(x\) выполняется \(f(x) = \sqrt[4]{|x|} \geqslant 0\), а \(f(0) = 0\), причём \(0 \in [-3;\ +\infty)\). Значит, наименьшее значение функции на этом промежутке равно \(0\).
Наибольшего значения не существует. Действительно, каким бы ни было число \(x_0 \in [-3;\ +\infty)\), число \(x_1 = |x_0| + 1\) также принадлежит этому промежутку, и \(|x_1| > |x_0|\), поэтому \(f(x_1) > f(x_0)\). Значит, ни одно значение функции не является наибольшим.
Ответ: 1) \(\max\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = \sqrt[4]{3}\), \(\min\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 1\); 2) \(\max\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = \sqrt[4]{2}\), \(\min\limits_{[-1;\ 2]} f(x) = 0\); 3) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{[-3;\ +\infty)} f(x) = 0\).
