Страница 93 номер 11.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \left(\sqrt[4]{x - 1}\right)^4 + \left(\sqrt[4]{1 - x}\right)^4 + 1\); 2) \(y = \left(\sqrt[6]{x}\right)^6 + \left(\sqrt[6]{1 - x}\right)^6\).
1) ОДЗ: \(\begin{cases} x - 1 \geqslant 0, \\ 1 - x \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x \geqslant 1, \\ x \leqslant 1, \end{cases}\) откуда \(x = 1\), то есть \(D(y) = \{1\}\).
\(y = \left(\sqrt[4]{0}\right)^4 + \left(\sqrt[4]{0}\right)^4 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1\) — график состоит из одной точки \((1;\ 1)\).
2) ОДЗ: \(\begin{cases} x \geqslant 0, \\ 1 - x \geqslant 0, \end{cases}\) то есть \(0 \leqslant x \leqslant 1\); \(D(y) = [0;\ 1]\).
При \(0 \leqslant x \leqslant 1\) имеем \(\left(\sqrt[6]{x}\right)^6 = x\) и \(\left(\sqrt[6]{1 - x}\right)^6 = 1 - x\), поэтому \(y = x + (1 - x) = 1\); график — отрезок прямой \(y = 1\) с концами \((0;\ 1)\) и \((1;\ 1)\), оба конца графику принадлежат.
Ответ: 1) \(D(y) = \{1\}\), график состоит из одной точки \((1;\ 1)\); 2) \(y = 1\), \(D(y) = [0;\ 1]\), график — отрезок прямой \(y = 1\) с концами \((0;\ 1)\) и \((1;\ 1)\), оба конца принадлежат графику.
Постройте график функции: 1) \(y = \left(\sqrt[4]{x - 1}\right)^4 + \left(\sqrt[4]{1 - x}\right)^4 + 1\); 2) \(y = \left(\sqrt[6]{x}\right)^6 + \left(\sqrt[6]{1 - x}\right)^6\).
1) Оба выражения \(\sqrt[4]{x - 1}\) и \(\sqrt[4]{1 - x}\) имеют смысл одновременно при условии \(\begin{cases} x - 1 \geqslant 0, \\ 1 - x \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x \geqslant 1, \\ x \leqslant 1. \end{cases}\)
Отсюда \(x = 1\), то есть \(D(y) = \{1\}\).
При \(x = 1\) получаем \(y = \left(\sqrt[4]{0}\right)^4 + \left(\sqrt[4]{0}\right)^4 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1\).
Значит, график данной функции состоит из одной точки \((1;\ 1)\).
2) Выражения \(\sqrt[6]{x}\) и \(\sqrt[6]{1 - x}\) имеют смысл одновременно при условии \(\begin{cases} x \geqslant 0, \\ 1 - x \geqslant 0, \end{cases}\) то есть при \(0 \leqslant x \leqslant 1\). Значит, \(D(y) = [0;\ 1]\).
При \(0 \leqslant x \leqslant 1\) имеем \(\left(\sqrt[6]{x}\right)^6 = x\) и \(\left(\sqrt[6]{1 - x}\right)^6 = 1 - x\), поэтому \(y = x + (1 - x) = 1\).
Значит, данную функцию можно задать так: \(y = 1\), \(D(y) = [0;\ 1]\). Её график — отрезок прямой \(y = 1\) с концами \((0;\ 1)\) и \((1;\ 1)\); оба конца графику принадлежат.
Ответ: 1) \(D(y) = \{1\}\), график состоит из одной точки \((1;\ 1)\); 2) \(y = 1\), \(D(y) = [0;\ 1]\), график — отрезок прямой \(y = 1\) с концами \((0;\ 1)\) и \((1;\ 1)\), оба конца принадлежат графику.
