Страница 93 номер 11.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \((|x| - 3)\sqrt[6]{2 - x} = 0\); 2) \((x + 2)\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0\).
1) ОДЗ: \(2 - x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 2\). При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} |x| - 3 = 0, \\ \sqrt[6]{2 - x} = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(|x| = 3\), откуда \(x = -3\) или \(x = 3\); из второго \(2 - x = 0\), \(x = 2\).
Число \(3\) условию \(x \leqslant 2\) не удовлетворяет и корнем не является; числа \(-3\) и \(2\) удовлетворяют.
2) ОДЗ: \(x^2 + 2x - 3 \geqslant 0\); корни трёхчлена равны \(-3\) и \(1\), ветви параболы направлены вверх, поэтому \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 1\).
При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x + 2 = 0, \\ \sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(x = -2\) — условию не удовлетворяет, корнем не является. Из второго \(x^2 + 2x - 3 = 0\), откуда \(x = -3\) или \(x = 1\); оба числа условию удовлетворяют.
Ответ: 1) \(-3\); \(2\); 2) \(-3\); \(1\).
Решите уравнение: 1) \((|x| - 3)\sqrt[6]{2 - x} = 0\); 2) \((x + 2)\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0\).
1) Выражение \(\sqrt[6]{2 - x}\) имеет смысл при \(2 - x \geqslant 0\), то есть при \(x \leqslant 2\).
При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} |x| - 3 = 0, \\ \sqrt[6]{2 - x} = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(|x| = 3\), откуда \(x = -3\) или \(x = 3\). Арифметический корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю, поэтому из второго уравнения \(2 - x = 0\), \(x = 2\).
Условию \(x \leqslant 2\) число \(3\) не удовлетворяет, значит, корнем данного уравнения оно не является. Числа \(-3\) и \(2\) этому условию удовлетворяют.
2) Выражение \(\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3}\) имеет смысл при \(x^2 + 2x - 3 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(x^2 + 2x - 3\) равны \(-3\) и \(1\), ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому \(x^2 + 2x - 3 \geqslant 0\) при \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 1\).
При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x + 2 = 0, \\ \sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(x = -2\); это число не удовлетворяет условию \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 1\), поэтому корнем данного уравнения оно не является. Из второго уравнения \(x^2 + 2x - 3 = 0\), откуда \(x = -3\) или \(x = 1\); оба числа условию удовлетворяют.
Ответ: 1) \(-3\); \(2\); 2) \(-3\); \(1\).
