Страница 93 номер 11.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \((x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0\); 2) \((x - 1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0\).
1) ОДЗ: \(x + 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -1\). При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x^2 - 4 = 0, \\ \sqrt[4]{x + 1} = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(x = -2\) или \(x = 2\), из второго \(x + 1 = 0\), \(x = -1\).
Число \(-2\) условию \(x \geqslant -1\) не удовлетворяет и корнем не является; числа \(2\) и \(-1\) удовлетворяют.
2) ОДЗ: \(x^2 - 2x - 3 \geqslant 0\); корни трёхчлена равны \(-1\) и \(3\), ветви параболы направлены вверх, поэтому \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 3\).
При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x - 1 = 0, \\ \sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(x = 1\) — условию не удовлетворяет, корнем не является. Из второго \(x^2 - 2x - 3 = 0\), откуда \(x = -1\) или \(x = 3\); оба числа условию удовлетворяют.
Ответ: 1) \(-1\); \(2\); 2) \(-1\); \(3\).
Решите уравнение: 1) \((x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0\); 2) \((x - 1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0\).
1) Выражение \(\sqrt[4]{x + 1}\) имеет смысл при \(x + 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\).
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому при \(x \geqslant -1\) уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x^2 - 4 = 0, \\ \sqrt[4]{x + 1} = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(x = -2\) или \(x = 2\). Арифметический корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю, поэтому из второго уравнения \(x + 1 = 0\), \(x = -1\).
Условию \(x \geqslant -1\) число \(-2\) не удовлетворяет, значит, оно не является корнем данного уравнения. Числа \(2\) и \(-1\) этому условию удовлетворяют.
2) Выражение \(\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3}\) имеет смысл при \(x^2 - 2x - 3 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(x^2 - 2x - 3\) равны \(-1\) и \(3\), ветви соответствующей параболы направлены вверх, поэтому \(x^2 - 2x - 3 \geqslant 0\) при \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 3\).
При этом условии уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} x - 1 = 0, \\ \sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0. \end{array}\right.\)
Из первого уравнения \(x = 1\); это число не удовлетворяет условию \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 3\), поэтому корнем данного уравнения оно не является. Из второго уравнения \(x^2 - 2x - 3 = 0\), откуда \(x = -1\) или \(x = 3\); оба числа условию удовлетворяют.
Ответ: 1) \(-1\); \(2\); 2) \(-1\); \(3\).
