Страница 93 номер 11.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения выражения: 1) \(\sqrt[6]{\dfrac{|x| - 4}{x^2 - 36}}\); 2) \(\sqrt[10]{|x| - 3} - \dfrac{1}{\sqrt[4]{x + 4}}\).
1) ОДЗ: \(\dfrac{|x| - 4}{x^2 - 36} \geqslant 0\).
Пусть \(|x| = t\), \(t \geqslant 0\); так как \(x^2 = |x|^2\), получаем \(\dfrac{t - 4}{(t - 6)(t + 6)} \geqslant 0\). Множитель \(t + 6\) при \(t \geqslant 0\) положителен, поэтому остаётся \(\dfrac{t - 4}{t - 6} \geqslant 0\) при \(t \geqslant 0\).
Знаки на \([0;\ 4)\), \((4;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\): при \(t = 0\) имеем \(\dfrac{-4}{-6} > 0\); при \(t = 5\) — \(\dfrac{1}{-1} < 0\); при \(t = 7\) — \(\dfrac{3}{1} > 0\). При \(t = 4\) дробь равна нулю, точка \(t = 6\) в область определения дроби не входит.
Значит, \(0 \leqslant t \leqslant 4\) или \(t > 6\), то есть \(\left[\begin{array}{l} |x| \leqslant 4, \\ |x| > 6, \end{array}\right.\) откуда \(-4 \leqslant x \leqslant 4\), или \(x < -6\), или \(x > 6\).
2) Нужно \(|x| - 3 \geqslant 0\), а знаменатель \(\sqrt[4]{x + 4}\) должен существовать и не обращаться в нуль, то есть \(x + 4 > 0\):
\(\begin{cases} |x| \geqslant 3, \\ x + 4 > 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 3, \end{array}\right. \\ x > -4. \end{cases}\)
Отсюда \(-4 < x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 3\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -6) \cup [-4;\ 4] \cup (6;\ +\infty)\); 2) \((-4;\ -3] \cup [3;\ +\infty)\).
Найдите область определения выражения: 1) \(\sqrt[6]{\dfrac{|x| - 4}{x^2 - 36}}\); 2) \(\sqrt[10]{|x| - 3} - \dfrac{1}{\sqrt[4]{x + 4}}\).
1) Корень шестой степени существует только при неотрицательном подкоренном выражении, поэтому выражение \(\sqrt[6]{\dfrac{|x| - 4}{x^2 - 36}}\) имеет смысл при тех \(x\), для которых \(\dfrac{|x| - 4}{x^2 - 36} \geqslant 0\).
Так как \(x^2 = |x|^2\), то, обозначив \(|x| = t\), где \(t \geqslant 0\), получаем неравенство \(\dfrac{t - 4}{t^2 - 36} \geqslant 0\), то есть \(\dfrac{t - 4}{(t - 6)(t + 6)} \geqslant 0\).
При \(t \geqslant 0\) множитель \(t + 6\) положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком дроби \(\dfrac{t - 4}{t - 6}\), и остаётся решить неравенство \(\dfrac{t - 4}{t - 6} \geqslant 0\) при \(t \geqslant 0\).
Нули числителя и знаменателя разбивают промежуток \([0;\ +\infty)\) на промежутки \([0;\ 4)\), \((4;\ 6)\), \((6;\ +\infty)\). Определим знак дроби пробными точками: при \(t = 0\) имеем \(\dfrac{-4}{-6} > 0\); при \(t = 5\) имеем \(\dfrac{1}{-1} < 0\); при \(t = 7\) имеем \(\dfrac{3}{1} > 0\). В точке \(t = 4\) дробь равна нулю, точка \(t = 6\) не входит в область определения дроби.
Значит, \(0 \leqslant t \leqslant 4\) или \(t > 6\). Возвращаясь к переменной \(x\), получаем совокупность \(\left[\begin{array}{l} |x| \leqslant 4, \\ |x| > 6, \end{array}\right.\) то есть \(-4 \leqslant x \leqslant 4\), или \(x < -6\), или \(x > 6\).
2) Выражение \(\sqrt[10]{|x| - 3} - \dfrac{1}{\sqrt[4]{x + 4}}\) имеет смысл, если \(|x| - 3 \geqslant 0\), а знаменатель \(\sqrt[4]{x + 4}\) существует и отличен от нуля, то есть если \(x + 4 > 0\).
Получаем систему \(\begin{cases} |x| \geqslant 3, \\ x + 4 > 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} \left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 3, \end{array}\right. \\ x > -4. \end{cases}\)
Отсюда \(-4 < x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 3\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -6) \cup [-4;\ 4] \cup (6;\ +\infty)\); 2) \((-4;\ -3] \cup [3;\ +\infty)\).
