Страница 92 номер 11.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Корень четвёртой степени существует только при неотрицательном подкоренном выражении, поэтому выражение \(\sqrt[4]{\dfrac{|x| - 1}{x^2 - 9}}\) имеет смысл при тех \(x\), для которых \(\dfrac{|x| - 1}{x^2 - 9} \geqslant 0\).

Так как \(x^2 = |x|^2\), то, обозначив \(|x| = t\), где \(t \geqslant 0\), получаем неравенство \(\dfrac{t - 1}{t^2 - 9} \geqslant 0\), то есть \(\dfrac{t - 1}{(t - 3)(t + 3)} \geqslant 0\).

При \(t \geqslant 0\) множитель \(t + 3\) положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком дроби \(\dfrac{t - 1}{t - 3}\), и остаётся решить неравенство \(\dfrac{t - 1}{t - 3} \geqslant 0\) при \(t \geqslant 0\).

Нули числителя и знаменателя разбивают промежуток \([0;\ +\infty)\) на промежутки \([0;\ 1)\), \((1;\ 3)\), \((3;\ +\infty)\). Определим знак дроби пробными точками: при \(t = 0\) имеем \(\dfrac{-1}{-3} > 0\); при \(t = 2\) имеем \(\dfrac{1}{-1} < 0\); при \(t = 4\) имеем \(\dfrac{3}{1} > 0\). В точке \(t = 1\) дробь равна нулю, точка \(t = 3\) не входит в область определения дроби.

Значит, \(0 \leqslant t \leqslant 1\) или \(t > 3\). Возвращаясь к переменной \(x\), получаем совокупность \(\left[\begin{array}{l} |x| \leqslant 1, \\ |x| > 3, \end{array}\right.\) то есть \(-1 \leqslant x \leqslant 1\), или \(x < -3\), или \(x > 3\).

2) Выражение \(\sqrt[8]{6 - |x|} + \dfrac{1}{\sqrt[4]{3 - x}}\) имеет смысл, если \(6 - |x| \geqslant 0\), а знаменатель \(\sqrt[4]{3 - x}\) существует и отличен от нуля. Корень четвёртой степени существует при \(3 - x \geqslant 0\) и обращается в нуль только при \(3 - x = 0\), поэтому второе условие — это \(3 - x > 0\).

Получаем систему \(\begin{cases} 6 - |x| \geqslant 0, \\ 3 - x > 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} |x| \leqslant 6, \\ x < 3; \end{cases}\) \(\begin{cases} -6 \leqslant x \leqslant 6, \\ x < 3. \end{cases}\)

Отсюда \(-6 \leqslant x < 3\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ -3) \cup [-1;\ 1] \cup (3;\ +\infty)\); 2) \([-6;\ 3)\).