Страница 92 номер 11.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3\); 2) \(y = \left(\sqrt[4]{x}\right)^4\).
1) \(D(y) = \mathbf{R}\): корень нечётной степени существует при любом \(x\). При любом \(x\) верно \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = x\), то есть \(y = x\); график — прямая, биссектриса первого и третьего координатных углов.
2) \(D(y) = [0;\ +\infty)\): подкоренное выражение корня чётной степени неотрицательно. При \(x \geqslant 0\) верно \(\left(\sqrt[4]{x}\right)^4 = x\), то есть \(y = x\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\); график — луч прямой \(y = x\) с началом в точке \((0;\ 0)\), эта точка графику принадлежит.
Ответ: 1) \(y = x\), \(D(y) = \mathbf{R}\); график — прямая, биссектриса первого и третьего координатных углов; 2) \(y = x\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\); график — луч прямой \(y = x\) с началом в точке \((0;\ 0)\), эта точка графику принадлежит.
Постройте график функции: 1) \(y = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3\); 2) \(y = \left(\sqrt[4]{x}\right)^4\).
1) Корень третьей степени существует при любом значении подкоренного выражения, поэтому \(D(y) = \mathbf{R}\).
По свойству корня нечётной степени \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = x\) при любом \(x\). Значит, данную функцию можно задать так: \(y = x\), \(D(y) = \mathbf{R}\). Её график — прямая, биссектриса первого и третьего координатных углов.
2) Арифметический корень четвёртой степени существует только при неотрицательном подкоренном выражении, поэтому \(D(y) = [0;\ +\infty)\).
При \(x \geqslant 0\) выполняется равенство \(\left(\sqrt[4]{x}\right)^4 = x\). Значит, \(y = x\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\). График этой функции — луч, лежащий на прямой \(y = x\); начало луча — точка \((0;\ 0)\) — графику принадлежит.
Ответ: 1) \(y = x\), \(D(y) = \mathbf{R}\); график — прямая, биссектриса первого и третьего координатных углов; 2) \(y = x\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\); график — луч прямой \(y = x\) с началом в точке \((0;\ 0)\), эта точка графику принадлежит.
