Страница 92 номер 11.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^9 = 10\); 2) \(x^{10} = 9\); 3) \(x^6 = -64\); 4) \(\sqrt[4]{x} = -2\); 5) \(\sqrt[5]{x} = -2\); 6) \(\sqrt[4]{3x - 2} = 2\).
1) Показатель степени 9 нечётный, поэтому корень единственный: \(x = \sqrt[9]{10}\).
2) Показатель степени 10 чётный, а \(9 > 0\), поэтому корней два: \(x_1 = \sqrt[10]{9}\) и \(x_2 = -\sqrt[10]{9}\).
3) Показатель степени 6 чётный, поэтому \(x^6 \geqslant 0\) при любом \(x\), а правая часть отрицательна — корней нет.
4) Арифметический корень четвёртой степени принимает только неотрицательные значения, а правая часть отрицательна — корней нет.
5) Показатель корня нечётный, поэтому \(x = (-2)^5\), откуда \(x = -32\).
6) Правая часть неотрицательна, поэтому \(3x - 2 = 2^4\), то есть \(3x - 2 = 16\), откуда \(3x = 18\) и \(x = 6\).
Ответ: 1) \(\sqrt[9]{10}\); 2) \(\sqrt[10]{9}\) и \(-\sqrt[10]{9}\); 3) корней нет; 4) корней нет; 5) \(-32\); 6) 6.
Решите уравнение: 1) \(x^9 = 10\); 2) \(x^{10} = 9\); 3) \(x^6 = -64\); 4) \(\sqrt[4]{x} = -2\); 5) \(\sqrt[5]{x} = -2\); 6) \(\sqrt[4]{3x - 2} = 2\).
1) Показатель степени 9 — нечётное число, поэтому уравнение \(x^9 = 10\) имеет единственный корень \(x = \sqrt[9]{10}\).
2) Показатель степени 10 — чётное число, а \(9 > 0\), поэтому уравнение \(x^{10} = 9\) имеет два корня: \(x_1 = \sqrt[10]{9}\) и \(x_2 = -\sqrt[10]{9}\).
3) Показатель степени 6 — чётное число, поэтому при любом \(x\) выполняется неравенство \(x^6 \geqslant 0\), а правая часть уравнения \(x^6 = -64\) отрицательна.
Значит, уравнение корней не имеет.
4) Арифметический корень четвёртой степени принимает только неотрицательные значения, а правая часть уравнения \(\sqrt[4]{x} = -2\) отрицательна.
Значит, уравнение корней не имеет.
5) Показатель корня в уравнении \(\sqrt[5]{x} = -2\) нечётный, поэтому по определению корня пятой степени \(x = (-2)^5\).
Отсюда \(x = -32\).
6) Правая часть уравнения \(\sqrt[4]{3x - 2} = 2\) неотрицательна, а арифметический корень четвёртой степени из выражения \(3x - 2\) равен 2 тогда и только тогда, когда \(3x - 2 = 2^4\), то есть \(3x - 2 = 16\).
Отсюда \(3x = 18\) и \(x = 6\).
Ответ: 1) \(\sqrt[9]{10}\); 2) \(\sqrt[10]{9}\) и \(-\sqrt[10]{9}\); 3) корней нет; 4) корней нет; 5) \(-32\); 6) 6.
