Страница 92 номер 11.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^5 = 9\); 2) \(x^7 = -2\); 3) \(x^6 = 5\); 4) \(\sqrt[4]{x} = 3\); 5) \(\sqrt[6]{x} = -2\); 6) \(\sqrt[3]{2x} + 7 = 0\).
1) Показатель степени 5 нечётный, поэтому корень единственный: \(x = \sqrt[5]{9}\).
2) Показатель степени 7 нечётный, поэтому корень единственный: \(x = \sqrt[7]{-2}\), то есть \(x = -\sqrt[7]{2}\).
3) Показатель степени 6 чётный, а \(5 > 0\), поэтому корней два: \(x_1 = \sqrt[6]{5}\) и \(x_2 = -\sqrt[6]{5}\).
4) Правая часть неотрицательна, поэтому \(x = 3^4\), откуда \(x = 81\).
5) Арифметический корень шестой степени принимает только неотрицательные значения, а правая часть отрицательна, поэтому корней нет.
6) \(\sqrt[3]{2x} = -7\); показатель корня нечётный, поэтому \(2x = (-7)^3\), то есть \(2x = -343\), откуда \(x = -171{,}5\).
Ответ: 1) \(\sqrt[5]{9}\); 2) \(-\sqrt[7]{2}\); 3) \(\sqrt[6]{5}\) и \(-\sqrt[6]{5}\); 4) 81; 5) корней нет; 6) \(-171{,}5\).
Решите уравнение: 1) \(x^5 = 9\); 2) \(x^7 = -2\); 3) \(x^6 = 5\); 4) \(\sqrt[4]{x} = 3\); 5) \(\sqrt[6]{x} = -2\); 6) \(\sqrt[3]{2x} + 7 = 0\).
1) Показатель степени 5 — нечётное число, поэтому уравнение \(x^5 = 9\) имеет единственный корень \(x = \sqrt[5]{9}\).
2) Показатель степени 7 — нечётное число, поэтому уравнение \(x^7 = -2\) имеет единственный корень \(x = \sqrt[7]{-2}\), то есть \(x = -\sqrt[7]{2}\).
3) Показатель степени 6 — чётное число, а \(5 > 0\), поэтому уравнение \(x^6 = 5\) имеет два корня: \(x_1 = \sqrt[6]{5}\) и \(x_2 = -\sqrt[6]{5}\).
4) Правая часть уравнения \(\sqrt[4]{x} = 3\) неотрицательна, а арифметический корень четвёртой степени из числа \(x\) равен 3 тогда и только тогда, когда \(x = 3^4\).
Отсюда \(x = 81\).
5) Арифметический корень шестой степени принимает только неотрицательные значения, а правая часть уравнения \(\sqrt[6]{x} = -2\) отрицательна.
Значит, уравнение корней не имеет.
6) Из уравнения \(\sqrt[3]{2x} + 7 = 0\) получаем \(\sqrt[3]{2x} = -7\). Показатель корня нечётный, поэтому по определению корня третьей степени \(2x = (-7)^3\), то есть \(2x = -343\).
Отсюда \(x = -171{,}5\).
Ответ: 1) \(\sqrt[5]{9}\); 2) \(-\sqrt[7]{2}\); 3) \(\sqrt[6]{5}\) и \(-\sqrt[6]{5}\); 4) 81; 5) корней нет; 6) \(-171{,}5\).
