Страница 83 номер 10.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Определите графически количество решений системы уравнений: 1) \(\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = \frac{1}{8}x^2 - 4; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} y = x^{-2}, \\ y = x^2 - 2. \end{cases}\)
Число решений равно числу общих точек графиков.
1) График \(y = x^{-3}\) — две ветви: в первой и в третьей координатных четвертях; функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). График \(y = \frac{1}{8}x^2 - 4\) — парабола с вершиной \((0;\ -4)\), ветви вверх.
На промежутке \((0;\ +\infty)\) первая функция убывает, вторая возрастает, поэтому общих точек здесь не более одной. При \(x = 5\): \(5^{-3} = \frac{1}{125}\) и \(\frac{25}{8} - 4 = -\frac{7}{8}\) — ветвь выше параболы; при \(x = 6\): \(6^{-3} = \frac{1}{216}\) и \(\frac{36}{8} - 4 = \frac{1}{2}\) — ветвь ниже, значит, общая точка есть.
На промежутке \((-\infty;\ 0)\) убывают обе функции, поэтому сравниваем значения. При \(x = -6\): \((-6)^{-3} = -\frac{1}{216}\) и \(\frac{1}{2}\) — ветвь ниже; при \(x = -5\): \((-5)^{-3} = -\frac{1}{125}\) и \(-\frac{7}{8}\) — выше; при \(x = -1\): \((-1)^{-3} = -1\) и \(\frac{1}{8} - 4 = -\frac{31}{8}\) — выше; при \(x = -0{,}5\): \((-0{,}5)^{-3} = -8\) и \(\frac{1}{32} - 4 = -\frac{127}{32}\) — ниже. Значит, одна общая точка лежит между \(-6\) и \(-5\), другая — между \(-1\) и \(-0{,}5\).
Всего графики имеют три общие точки.
2) График \(y = x^{-2}\) — две ветви в верхней полуплоскости, симметричные относительно оси ординат; график \(y = x^2 - 2\) — парабола с вершиной \((0;\ -2)\), ветви вверх.
Обе функции чётные, поэтому достаточно сосчитать общие точки при \(x > 0\).
На промежутке \((0;\ +\infty)\) первая функция убывает, вторая возрастает, поэтому общих точек не более одной. При \(x = 1\): \(1^{-2} = 1\) и \(1^2 - 2 = -1\) — ветвь выше параболы; при \(x = 2\): \(2^{-2} = \frac{1}{4}\) и \(2^2 - 2 = 2\) — ветвь ниже, значит, общая точка есть.
При \(x > 0\) общая точка одна, столько же при \(x < 0\), а всего — две.
Ответ: 1) 3 решения; 2) 2 решения.
Определите графически количество решений системы уравнений: 1) \(\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = \frac{1}{8}x^2 - 4; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} y = x^{-2}, \\ y = x^2 - 2. \end{cases}\)
Число решений системы равно числу общих точек графиков её уравнений, поэтому в каждом пункте построим оба графика в одной системе координат.
1) График функции \(y = x^{-3}\) состоит из двух ветвей: одна лежит в первой координатной четверти, другая — в третьей; функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). График функции \(y = \frac{1}{8}x^2 - 4\) — парабола с вершиной \((0;\ -4)\), ветви которой направлены вверх.
На промежутке \((0;\ +\infty)\) функция \(y = x^{-3}\) убывает, а функция \(y = \frac{1}{8}x^2 - 4\) возрастает, поэтому больше одной общей точки их графики здесь иметь не могут. Одна общая точка есть: при \(x = 5\) имеем \(5^{-3} = \frac{1}{125}\) и \(\frac{25}{8} - 4 = -\frac{7}{8}\), то есть ветвь проходит выше параболы, а при \(x = 6\) имеем \(6^{-3} = \frac{1}{216}\) и \(\frac{36}{8} - 4 = \frac{1}{2}\), то есть ветвь проходит уже ниже параболы.
На промежутке \((-\infty;\ 0)\) убывают обе функции, поэтому сосчитаем общие точки по значениям. При \(x = -6\) имеем \((-6)^{-3} = -\frac{1}{216}\) и \(\frac{36}{8} - 4 = \frac{1}{2}\) — ветвь ниже параболы; при \(x = -5\) имеем \((-5)^{-3} = -\frac{1}{125}\) и \(\frac{25}{8} - 4 = -\frac{7}{8}\) — ветвь выше параболы; при \(x = -1\) имеем \((-1)^{-3} = -1\) и \(\frac{1}{8} - 4 = -\frac{31}{8}\) — ветвь выше параболы; при \(x = -0{,}5\) имеем \((-0{,}5)^{-3} = -8\) и \(\frac{1}{32} - 4 = -\frac{127}{32}\) — ветвь ниже параболы. Значит, одна общая точка лежит между \(-6\) и \(-5\), другая — между \(-1\) и \(-0{,}5\); на остальной части промежутка ветвь не пересекает параболу.
Значит, графики имеют три общие точки.
2) График функции \(y = x^{-2}\) состоит из двух ветвей, лежащих в верхней полуплоскости и симметричных относительно оси ординат. График функции \(y = x^2 - 2\) — парабола с вершиной \((0;\ -2)\), ветви которой направлены вверх.
Обе функции чётные, поэтому оба графика симметричны относительно оси ординат, и достаточно сосчитать общие точки при \(x > 0\).
На промежутке \((0;\ +\infty)\) функция \(y = x^{-2}\) убывает, а функция \(y = x^2 - 2\) возрастает, поэтому больше одной общей точки их графики здесь иметь не могут. Одна общая точка есть: при \(x = 1\) имеем \(1^{-2} = 1\) и \(1^2 - 2 = -1\), то есть ветвь проходит выше параболы, а при \(x = 2\) имеем \(2^{-2} = \frac{1}{4}\) и \(2^2 - 2 = 2\), то есть ветвь проходит уже ниже параболы.
Значит, при \(x > 0\) графики имеют одну общую точку, столько же — при \(x < 0\), а всего — две общие точки.
Ответ: 1) 3 решения; 2) 2 решения.
