Страница 83 номер 10.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Чётным или нечётным является натуральное число \(n\) в показателе степени функции \(f(x) = x^{-n}\), если: 1) \(f(-2) < f(1)\); 2) \(f(-2) < f(-1)\); 3) \(f(2) < f(1)\)?
Функция \(f(x) = x^{-n}\), где \(n \in \mathbf{N}\), определена при \(x \ne 0\), причём \(f(1) = 1^{-n} = 1\). На промежутке \((0;\ +\infty)\) она убывает при любом натуральном \(n\); на промежутке \((-\infty;\ 0)\) при чётном \(n\) возрастает, а при нечётном убывает и принимает отрицательные значения.
1) При чётном \(n\) функция чётная, поэтому \(f(-2) = f(2)\); числа 1 и 2 в промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает, и \(2 > 1\), поэтому \(f(2) < f(1)\), то есть \(f(-2) < f(1)\) — условие выполняется.
При нечётном \(n\) имеем \(f(-2) < 0\), а \(f(1) = 1 > 0\), поэтому \(f(-2) < f(1)\) — условие тоже выполняется.
Значит, чётность числа \(n\) определить невозможно.
2) Числа \(-2\) и \(-1\) в промежутке \((-\infty;\ 0)\), причём \(-2 < -1\). При чётном \(n\) функция там возрастает, поэтому \(f(-2) < f(-1)\) — условие выполняется; при нечётном \(n\) убывает, поэтому \(f(-2) > f(-1)\) — условие не выполняется.
Значит, \(n\) — чётное число.
3) На промежутке \((0;\ +\infty)\) функция убывает при любом натуральном \(n\), и \(2 > 1\), поэтому \(f(2) < f(1)\) и при чётном, и при нечётном \(n\).
Значит, чётность числа \(n\) определить невозможно.
Ответ: 1) определить невозможно; 2) \(n\) — чётное число; 3) определить невозможно.
Чётным или нечётным является натуральное число \(n\) в показателе степени функции \(f(x) = x^{-n}\), если: 1) \(f(-2) < f(1)\); 2) \(f(-2) < f(-1)\); 3) \(f(2) < f(1)\)?
Функция \(f(x) = x^{-n}\), где \(n \in \mathbf{N}\), определена при \(x \ne 0\), причём \(f(1) = 1^{-n} = 1\). На промежутке \((0;\ +\infty)\) она убывает при любом натуральном \(n\); на промежутке \((-\infty;\ 0)\) она возрастает при чётном \(n\) и убывает при нечётном \(n\). Кроме того, при чётном \(n\) функция чётная, а при нечётном \(n\) — нечётная, и тогда её значения при \(x < 0\) отрицательны.
1) Пусть \(n\) — чётное число. Тогда функция чётная, поэтому её значения в точках \(-2\) и 2 равны. Числа 1 и 2 принадлежат промежутку \((0;\ +\infty)\), на котором функция убывает, и \(2 > 1\), поэтому \(f(2) < f(1)\), а значит, и \(f(-2) < f(1)\) — условие выполняется.
Пусть \(n\) — нечётное число. Тогда \(f(-2) < 0\), а \(f(1) = 1 > 0\), поэтому \(f(-2) < f(1)\) — условие тоже выполняется.
Например, при \(n = 2\) имеем \(f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}\), а при \(n = 3\) имеем \(f(-2) = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}\); оба значения меньше 1. Значит, чётность числа \(n\) определить невозможно.
2) Числа \(-2\) и \(-1\) принадлежат промежутку \((-\infty;\ 0)\), причём \(-2 < -1\).
Если \(n\) — чётное число, то на этом промежутке функция возрастает, поэтому \(f(-2) < f(-1)\) — условие выполняется. Например, при \(n = 2\) имеем \(f(-2) = \frac{1}{4}\) и \(f(-1) = \frac{1}{(-1)^2} = 1\).
Если \(n\) — нечётное число, то на этом промежутке функция убывает, поэтому \(f(-2) > f(-1)\) — условие не выполняется. Например, при \(n = 3\) имеем \(f(-2) = -\frac{1}{8}\) и \(f(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1\), а \(-\frac{1}{8} > -1\).
Значит, \(n\) — чётное число.
3) Числа 1 и 2 принадлежат промежутку \((0;\ +\infty)\), на котором функция убывает при любом натуральном \(n\) — и при чётном, и при нечётном. Так как \(2 > 1\), то \(f(2) < f(1)\) при любом натуральном \(n\).
Например, при \(n = 2\) имеем \(f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\), а при \(n = 3\) имеем \(f(2) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\); оба значения меньше 1. Значит, чётность числа \(n\) определить невозможно.
Ответ: 1) определить невозможно; 2) \(n\) — чётное число; 3) определить невозможно.
