Страница 83 номер 10.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Определите графически количество решений системы уравнений: 1) \(\begin{cases} y = x^{-6}, \\ y = 4 - x^2; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = x^3 + 3. \end{cases}\)
Число решений равно числу общих точек графиков.
1) График \(y = x^{-6}\) — две ветви в верхней полуплоскости, симметричные относительно оси ординат; график \(y = 4 - x^2\) — парабола с вершиной \((0;\ 4)\), ветви вниз, нули \(-2\) и 2.
Обе функции чётные, поэтому достаточно сосчитать общие точки при \(x > 0\).
При \(x = 0{,}5\): \(0{,}5^{-6} = 64\) и \(4 - 0{,}5^2 = 3{,}75\) — ветвь выше параболы; при \(x = 1\): \(1^{-6} = 1\) и \(4 - 1^2 = 3\) — ветвь ниже, значит, на промежутке \((0{,}5;\ 1)\) есть общая точка.
При \(x = 2\): \(2^{-6} = \frac{1}{64}\) и \(4 - 2^2 = 0\) — ветвь снова выше, значит, на промежутке \((1;\ 2)\) есть ещё одна общая точка. При \(x > 2\) значения параболы отрицательны, а значения ветви положительны — других общих точек нет.
При \(x > 0\) общих точек две, столько же при \(x < 0\), а всего — четыре.
2) График \(y = x^{-3}\) — две ветви: в первой и в третьей координатных четвертях; функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). График \(y = x^3 + 3\) — график \(y = x^3\), поднятый на 3 единицы; эта функция возрастающая.
На каждом из промежутков \((0;\ +\infty)\) и \((-\infty;\ 0)\) первая функция убывает, вторая возрастает, поэтому общих точек здесь не больше одной.
При \(x = 0{,}5\): \(0{,}5^{-3} = 8\) и \(0{,}5^3 + 3 = 3{,}125\); при \(x = 1\): \(1^{-3} = 1\) и \(1^3 + 3 = 4\) — на промежутке \((0;\ +\infty)\) общая точка есть.
При \(x = -2\): \((-2)^{-3} = -0{,}125\) и \((-2)^3 + 3 = -5\); при \(x = -1\): \((-1)^{-3} = -1\) и \((-1)^3 + 3 = 2\) — на промежутке \((-\infty;\ 0)\) общая точка тоже есть.
Значит, графики имеют две общие точки.
Ответ: 1) 4 решения; 2) 2 решения.
Определите графически количество решений системы уравнений: 1) \(\begin{cases} y = x^{-6}, \\ y = 4 - x^2; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = x^3 + 3. \end{cases}\)
Число решений системы равно числу общих точек графиков её уравнений, поэтому в каждом пункте построим оба графика в одной системе координат.
1) Показатель \(-6\) — целое отрицательное чётное число, поэтому график функции \(y = x^{-6}\) состоит из двух ветвей, лежащих в верхней полуплоскости и симметричных относительно оси ординат. График функции \(y = 4 - x^2\) — парабола с вершиной \((0;\ 4)\), ветви которой направлены вниз, а ось абсцисс она пересекает в точках \((-2;\ 0)\) и \((2;\ 0)\).
Обе функции чётные, поэтому оба графика симметричны относительно оси ординат, и достаточно сосчитать общие точки при \(x > 0\).
При \(x = 0{,}5\) имеем \(0{,}5^{-6} = 64\) и \(4 - 0{,}5^2 = 3{,}75\), то есть правая ветвь графика функции \(y = x^{-6}\) проходит выше параболы. При \(x = 1\) имеем \(1^{-6} = 1\) и \(4 - 1^2 = 3\), то есть ветвь проходит уже ниже параболы. Значит, на промежутке \((0{,}5;\ 1)\) графики имеют общую точку.
При \(x = 2\) имеем \(2^{-6} = \frac{1}{64}\) и \(4 - 2^2 = 0\), то есть ветвь снова проходит выше параболы, поэтому на промежутке \((1;\ 2)\) есть ещё одна общая точка. При \(x > 2\) значения функции \(y = 4 - x^2\) отрицательны, а значения функции \(y = x^{-6}\) положительны, поэтому других общих точек нет.
Значит, при \(x > 0\) графики имеют две общие точки, столько же — при \(x < 0\), а всего — четыре общие точки.
2) Показатель \(-3\) — целое отрицательное нечётное число, поэтому график функции \(y = x^{-3}\) состоит из двух ветвей: одна лежит в первой координатной четверти, другая — в третьей, и функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\). График функции \(y = x^3 + 3\) получаем из графика функции \(y = x^3\) параллельным переносом на 3 единицы вверх; функция \(y = x^3 + 3\) возрастающая.
На промежутке \((0;\ +\infty)\) функция \(y = x^{-3}\) убывает, а функция \(y = x^3 + 3\) возрастает, поэтому больше одной общей точки их графики здесь иметь не могут. Одна общая точка есть: при \(x = 0{,}5\) имеем \(0{,}5^{-3} = 8\) и \(0{,}5^3 + 3 = 3{,}125\), а при \(x = 1\) имеем \(1^{-3} = 1\) и \(1^3 + 3 = 4\).
На промежутке \((-\infty;\ 0)\) функция \(y = x^{-3}\) тоже убывает, а функция \(y = x^3 + 3\) возрастает, поэтому и здесь общая точка может быть только одна. Она есть: при \(x = -2\) имеем \((-2)^{-3} = -0{,}125\) и \((-2)^3 + 3 = -5\), а при \(x = -1\) имеем \((-1)^{-3} = -1\) и \((-1)^3 + 3 = 2\).
Значит, графики имеют две общие точки.
Ответ: 1) 4 решения; 2) 2 решения.
