Страница 83 номер 10.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^{-3}\) на промежутке: 1) \(\left[\frac{1}{3};\ 2\right]\); 2) \([-2;\ -1]\); 3) \((-\infty;\ -3]\); 4) \((0;\ 2]\).
Показатель \(-3\) — целое отрицательное число, 3 нечётное, поэтому функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), отрицательна при \(x < 0\) и положительна при \(x > 0\).
1) \(\left[\frac{1}{3};\ 2\right]\) лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает: наибольшее значение — в левом конце, наименьшее — в правом. \(f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27\), \(f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{8}\).
\[\begin{gathered} \max\limits_{\left[\frac{1}{3};\ 2\right]} f(x) = 27, \\ \min\limits_{\left[\frac{1}{3};\ 2\right]} f(x) = \frac{1}{8}. \end{gathered}\]
2) \([-2;\ -1]\) лежит в промежутке \((-\infty;\ 0)\), где функция убывает: наибольшее значение — в левом конце, наименьшее — в правом. \(f(-2) = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}\), \(f(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1\).
\[\begin{gathered} \max\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = -\frac{1}{8}, \\ \min\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = -1. \end{gathered}\]
3) \((-\infty;\ -3]\) лежит в промежутке \((-\infty;\ 0)\), где функция убывает, поэтому наименьшее значение — в правом конце: \(f(-3) = \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27}\). Левого конца нет: с уменьшением \(x\) значения возрастают, оставаясь отрицательными, и приближаются к нулю сколь угодно близко — наибольшего значения функция не принимает.
\[\min\limits_{(-\infty;\ -3]} f(x) = -\frac{1}{27}.\]
4) \((0;\ 2]\) лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает, поэтому наименьшее значение — в правом конце: \(f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{8}\). Левый конец промежутку не принадлежит: вблизи нуля справа значения дроби \(\frac{1}{x^3}\) становятся сколь угодно большими — наибольшего значения функция не принимает.
\[\min\limits_{(0;\ 2]} f(x) = \frac{1}{8}.\]
Ответ: 1) \(\max\limits_{\left[\frac{1}{3};\ 2\right]} f(x) = 27\), \(\min\limits_{\left[\frac{1}{3};\ 2\right]} f(x) = \frac{1}{8}\); 2) \(\max\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = -\frac{1}{8}\), \(\min\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = -1\); 3) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{(-\infty;\ -3]} f(x) = -\frac{1}{27}\); 4) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{(0;\ 2]} f(x) = \frac{1}{8}\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^{-3}\) на промежутке: 1) \(\left[\frac{1}{3};\ 2\right]\); 2) \([-2;\ -1]\); 3) \((-\infty;\ -3]\); 4) \((0;\ 2]\).
Показатель степени функции \(f(x) = x^{-3}\) — целое отрицательное число, причём 3 — нечётное натуральное число. Значит, функция \(f\) убывает на каждом из промежутков \((-\infty;\ 0)\) и \((0;\ +\infty)\), принимает отрицательные значения при \(x < 0\) и положительные при \(x > 0\).
1) Промежуток \(\left[\frac{1}{3};\ 2\right]\) лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\), на котором функция убывает. Значит, наибольшее значение она принимает в левом конце промежутка, а наименьшее — в правом: \(f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27\) и \(f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{8}\).
\[\begin{gathered} \max\limits_{\left[\frac{1}{3};\ 2\right]} f(x) = 27, \\ \min\limits_{\left[\frac{1}{3};\ 2\right]} f(x) = \frac{1}{8}. \end{gathered}\]
2) Промежуток \([-2;\ -1]\) лежит в промежутке \((-\infty;\ 0)\), на котором функция убывает. Значит, наибольшее значение она принимает в левом конце промежутка, а наименьшее — в правом: \(f(-2) = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}\) и \(f(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1\).
\[\begin{gathered} \max\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = -\frac{1}{8}, \\ \min\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = -1. \end{gathered}\]
3) Промежуток \((-\infty;\ -3]\) лежит в промежутке \((-\infty;\ 0)\), на котором функция убывает, поэтому наименьшее значение она принимает в правом конце промежутка: \(f(-3) = \frac{1}{(-3)^3} = -\frac{1}{27}\).
Левого конца у этого промежутка нет. С уменьшением \(x\) значения функции возрастают, оставаясь отрицательными, и приближаются к нулю сколь угодно близко, поэтому для каждого значения функции на промежутке \((-\infty;\ -3]\) найдётся большее значение. Значит, наибольшего значения функция на этом промежутке не принимает.
\[\min\limits_{(-\infty;\ -3]} f(x) = -\frac{1}{27}.\]
4) Промежуток \((0;\ 2]\) лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\), на котором функция убывает, поэтому наименьшее значение она принимает в правом конце промежутка: \(f(2) = 2^{-3} = \frac{1}{8}\).
Левый конец промежутку не принадлежит. При приближении \(x\) к нулю справа значения дроби \(\frac{1}{x^3}\) становятся сколь угодно большими, поэтому для каждого значения функции на промежутке \((0;\ 2]\) найдётся большее значение. Значит, наибольшего значения функция на этом промежутке не принимает.
\[\min\limits_{(0;\ 2]} f(x) = \frac{1}{8}.\]
Ответ: 1) \(\max\limits_{\left[\frac{1}{3};\ 2\right]} f(x) = 27\), \(\min\limits_{\left[\frac{1}{3};\ 2\right]} f(x) = \frac{1}{8}\); 2) \(\max\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = -\frac{1}{8}\), \(\min\limits_{[-2;\ -1]} f(x) = -1\); 3) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{(-\infty;\ -3]} f(x) = -\frac{1}{27}\); 4) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{(0;\ 2]} f(x) = \frac{1}{8}\).
