Страница 82 номер 10.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^{-6}\) на промежутке: 1) \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\); 2) \(\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]\); 3) \([1;\ +\infty)\); 4) \([-1;\ 0)\).
Показатель \(-6\) — целое отрицательное число, 6 чётное, поэтому функция положительна, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\).
1) \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\) лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает: наибольшее значение — в левом конце, наименьшее — в правом. \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64\), \(f(1) = 1^{-6} = 1\).
\[\begin{gathered} \max\limits_{\left[\frac{1}{2};\ 1\right]} f(x) = 64, \\ \min\limits_{\left[\frac{1}{2};\ 1\right]} f(x) = 1. \end{gathered}\]
2) \(\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]\) лежит в промежутке \((-\infty;\ 0)\), где функция возрастает: наименьшее значение — в левом конце, наибольшее — в правом. \(f(-1) = \frac{1}{(-1)^6} = 1\), \(f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^6} = 64\).
\[\begin{gathered} \max\limits_{\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]} f(x) = 64, \\ \min\limits_{\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]} f(x) = 1. \end{gathered}\]
3) \([1;\ +\infty)\) лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\), где функция убывает, поэтому наибольшее значение — в левом конце: \(f(1) = 1\). Правого конца нет: значения убывают, оставаясь положительными, и становятся сколь угодно малыми — наименьшего значения функция не принимает.
\[\max\limits_{[1;\ +\infty)} f(x) = 1.\]
4) \([-1;\ 0)\) лежит в промежутке \((-\infty;\ 0)\), где функция возрастает, поэтому наименьшее значение — в левом конце: \(f(-1) = 1\). Правый конец промежутку не принадлежит: вблизи нуля значения дроби \(\frac{1}{x^6}\) становятся сколь угодно большими — наибольшего значения функция не принимает.
\[\min\limits_{[-1;\ 0)} f(x) = 1.\]
Ответ: 1) \(\max\limits_{\left[\frac{1}{2};\ 1\right]} f(x) = 64\), \(\min\limits_{\left[\frac{1}{2};\ 1\right]} f(x) = 1\); 2) \(\max\limits_{\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]} f(x) = 64\), \(\min\limits_{\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]} f(x) = 1\); 3) \(\max\limits_{[1;\ +\infty)} f(x) = 1\), наименьшего значения не существует; 4) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{[-1;\ 0)} f(x) = 1\).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^{-6}\) на промежутке: 1) \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\); 2) \(\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]\); 3) \([1;\ +\infty)\); 4) \([-1;\ 0)\).
Показатель степени функции \(f(x) = x^{-6}\) — целое отрицательное число, причём 6 — чётное натуральное число. Значит, функция \(f\) принимает только положительные значения, возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и убывает на промежутке \((0;\ +\infty)\).
1) Промежуток \(\left[\frac{1}{2};\ 1\right]\) лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\), на котором функция убывает. Значит, наибольшее значение она принимает в левом конце промежутка, а наименьшее — в правом: \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64\) и \(f(1) = 1^{-6} = 1\).
\[\begin{gathered} \max\limits_{\left[\frac{1}{2};\ 1\right]} f(x) = 64, \\ \min\limits_{\left[\frac{1}{2};\ 1\right]} f(x) = 1. \end{gathered}\]
2) Промежуток \(\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]\) лежит в промежутке \((-\infty;\ 0)\), на котором функция возрастает. Значит, наименьшее значение она принимает в левом конце промежутка, а наибольшее — в правом: \(f(-1) = \frac{1}{(-1)^6} = 1\) и \(f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^6} = 64\).
\[\begin{gathered} \max\limits_{\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]} f(x) = 64, \\ \min\limits_{\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]} f(x) = 1. \end{gathered}\]
3) Промежуток \([1;\ +\infty)\) лежит в промежутке \((0;\ +\infty)\), на котором функция убывает, поэтому наибольшее значение она принимает в левом конце промежутка: \(f(1) = 1\).
Правого конца у этого промежутка нет. С увеличением \(x\) значения функции убывают, оставаясь положительными, и становятся сколь угодно малыми, поэтому для каждого значения функции на промежутке \([1;\ +\infty)\) найдётся меньшее значение. Значит, наименьшего значения функция на этом промежутке не принимает.
\[\max\limits_{[1;\ +\infty)} f(x) = 1.\]
4) Промежуток \([-1;\ 0)\) лежит в промежутке \((-\infty;\ 0)\), на котором функция возрастает, поэтому наименьшее значение она принимает в левом конце промежутка: \(f(-1) = 1\).
Правый конец промежутку не принадлежит. При приближении \(x\) к нулю значения дроби \(\frac{1}{x^6}\) становятся сколь угодно большими, поэтому для каждого значения функции на промежутке \([-1;\ 0)\) найдётся большее значение. Значит, наибольшего значения функция на этом промежутке не принимает.
\[\min\limits_{[-1;\ 0)} f(x) = 1.\]
Ответ: 1) \(\max\limits_{\left[\frac{1}{2};\ 1\right]} f(x) = 64\), \(\min\limits_{\left[\frac{1}{2};\ 1\right]} f(x) = 1\); 2) \(\max\limits_{\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]} f(x) = 64\), \(\min\limits_{\left[-1;\ -\frac{1}{2}\right]} f(x) = 1\); 3) \(\max\limits_{[1;\ +\infty)} f(x) = 1\), наименьшего значения не существует; 4) наибольшего значения не существует, \(\min\limits_{[-1;\ 0)} f(x) = 1\).
