Страница 82 номер 10.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(y = (x^{-1})^{-1}\); 2) \(y = ((x - 2)^{-2})^{-2}\).
1) \(x^{-1}\) имеет смысл при \(x \ne 0\), и тогда \(x^{-1} = \frac{1}{x} \ne 0\), поэтому определена и внешняя степень: \(D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).
Упрощение \(\left(x^{-1}\right)^{-1} = x\) на область определения не влияет.
2) \((x - 2)^{-2}\) имеет смысл при \(x \ne 2\), и тогда \((x - 2)^{-2} = \frac{1}{(x-2)^2} > 0\), то есть основание внешней степени отлично от нуля: \(D(y) = (-\infty;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\).
Найдите область определения функции: 1) \(y = (x^{-1})^{-1}\); 2) \(y = ((x - 2)^{-2})^{-2}\).
1) Выражение \(x^{-1}\) имеет смысл при \(x \ne 0\). При таких значениях \(x\) имеем \(x^{-1} = \frac{1}{x} \ne 0\), поэтому и выражение \(\left(x^{-1}\right)^{-1}\) имеет смысл. Других ограничений нет, значит, областью определения функции является множество \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\).
Отметим, что упрощение \(\left(x^{-1}\right)^{-1} = x\) на область определения не влияет: точка \(x = 0\) в неё не входит.
2) Выражение \((x - 2)^{-2}\) имеет смысл при \(x - 2 \ne 0\), то есть при \(x \ne 2\). При таких значениях \(x\) имеем \((x - 2)^{-2} = \frac{1}{(x-2)^2} > 0\), то есть основание внешней степени отлично от нуля и выражение \(\left((x - 2)^{-2}\right)^{-2}\) имеет смысл. Значит, областью определения функции является множество \((-\infty;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\).
