Вопросы после параграфа §11 на странице 91, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
1. Что называют корнем \(n\)-й степени из числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\)? 2. Что называют арифметическим корнем \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\)? 3. Какими свойствами обладает функция \(y = \sqrt[2k+1]{x}\), \(k \in \mathbf{N}\)? 4. Какими свойствами обладает функция \(y = \sqrt[2k]{x}\), \(k \in \mathbf{N}\)?
Корнем \(n\)-й степени из числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), называют такое число, \(n\)-я степень которого равна \(a\): например, \(2^5 = 32\), поэтому 2 — корень пятой степени из 32.
Корней может быть и два: \(3^4 = 81\) и \((-3)^4 = 81\), поэтому 3 и \(-3\) — корни четвёртой степени из 81.
Такие корни — это корни уравнения \(x^n = a\): при нечётном \(n\) корень существует из любого числа и он единственный, при чётном \(n\) корня из отрицательного числа нет, корень из нуля равен нулю, а из положительного числа корней два — противоположные числа.
Ответ: корнем \(n\)-й степени из числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), называют такое число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).
Арифметическим корнем \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), называют такое неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\); обозначают его \(\sqrt[n]{a}\). Например, \(\sqrt[4]{81} = 3\), так как \(3 \geqslant 0\) и \(3^4 = 81\).
Отсюда \(\sqrt[n]{a} \geqslant 0\) и \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a\) при \(a \geqslant 0\).
Арифметический корень — всегда одно неотрицательное число, а корень чётной степени из положительного числа своего обозначения не имеет.
Ответ: арифметическим корнем \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\) называют такое неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\); обозначают его \(\sqrt[n]{a}\).
Показатель корня нечётный, поэтому корень существует из любого числа и он единственный; функция обратна к функции \(y = x^{2k+1}\).
\(D(y) = \mathbf{R}\).
\(E(y) = \mathbf{R}\): уравнение \(\sqrt[2k+1]{x} = a\) при любом \(a\) имеет корень \(x = a^{2k+1}\).
Нуль функции: \(x = 0\).
\(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\), \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\).
Функция нечётная: \(\sqrt[2k+1]{-x} = -\sqrt[2k+1]{x}\).
Функция возрастающая — обратна к возрастающей функции \(y = x^{2k+1}\).
Ответ: \(D(y) = \mathbf{R}\); \(E(y) = \mathbf{R}\); единственный нуль \(x = 0\); \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\); функция нечётная и возрастающая.
Показатель корня чётный, поэтому \(\sqrt[2k]{x}\) — арифметический корень, и запись имеет смысл только при \(x \geqslant 0\); функция обратна к функции \(y = x^{2k}\), рассматриваемой на промежутке \([0;\ +\infty)\).
\(D(y) = [0;\ +\infty)\).
\(E(y) = [0;\ +\infty)\): уравнение \(\sqrt[2k]{x} = a\) при \(a \geqslant 0\) имеет корень \(x = a^{2k}\), а при \(a < 0\) корней не имеет.
Нуль функции: \(x = 0\).
\(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\).
Функция не является ни чётной, ни нечётной: её область определения не симметрична относительно начала координат.
Функция возрастающая — обратна к возрастающей функции \(y = x^{2k}\), где \(x \geqslant 0\).
Ответ: \(D(y) = [0;\ +\infty)\); \(E(y) = [0;\ +\infty)\); единственный нуль \(x = 0\); \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\); функция не является ни чётной, ни нечётной, и она возрастающая.
1. Что называют корнем \(n\)-й степени из числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\)? 2. Что называют арифметическим корнем \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\)? 3. Какими свойствами обладает функция \(y = \sqrt[2k+1]{x}\), \(k \in \mathbf{N}\)? 4. Какими свойствами обладает функция \(y = \sqrt[2k]{x}\), \(k \in \mathbf{N}\)?
Корнем \(n\)-й степени из числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), называют такое число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).
Например, число 2 является корнем пятой степени из числа 32, так как \(2^5 = 32\); число \(-4\) является корнем третьей степени из числа \(-64\), так как \((-4)^3 = -64\).
Корней \(n\)-й степени из числа может быть и два: числа 3 и \(-3\) являются корнями четвёртой степени из числа 81, так как \(3^4 = 81\) и \((-3)^4 = 81\).
Корни \(n\)-й степени из числа \(a\) — это в точности корни уравнения \(x^n = a\). Поэтому при нечётном \(n\) корень \(n\)-й степени существует из любого числа и он единственный, а при чётном \(n\) корня из отрицательного числа нет, корень из нуля равен нулю, а из положительного числа таких корней два — противоположные числа.
Ответ: корнем \(n\)-й степени из числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), называют такое число, \(n\)-я степень которого равна \(a\).
Арифметическим корнем \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), называют такое неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\). Обозначают его \(\sqrt[n]{a}\).
Например, \(\sqrt[4]{81} = 3\), так как \(3 \geqslant 0\) и \(3^4 = 81\); \(\sqrt[6]{64} = 2\), так как \(2 \geqslant 0\) и \(2^6 = 64\).
Вообще, если \(b \geqslant 0\) и \(b^n = a\), то \(\sqrt[n]{a} = b\). Из определения следуют два свойства: \(\sqrt[n]{a} \geqslant 0\) при \(a \geqslant 0\) и \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a\) при \(a \geqslant 0\).
Отличие от предыдущего вопроса в том, что арифметический корень — всегда одно неотрицательное число: запись \(\sqrt[2k]{a}\) используют только для арифметического корня, а корень чётной степени из положительного числа своего обозначения не имеет.
Ответ: арифметическим корнем \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\) называют такое неотрицательное число, \(n\)-я степень которого равна \(a\); обозначают его \(\sqrt[n]{a}\).
Показатель корня \(2k + 1\) нечётный, поэтому корень такой степени существует из любого числа и принимает единственное значение. Функция \(y = \sqrt[2k+1]{x}\) является обратной к функции \(y = x^{2k+1}\).
Область определения: \(D(y) = \mathbf{R}\).
Область значений: \(E(y) = \mathbf{R}\), так как уравнение \(\sqrt[2k+1]{x} = a\) при любом \(a\) имеет корень \(x = a^{2k+1}\).
Нули функции: \(y = 0\) только при \(x = 0\).
Промежутки знакопостоянства: \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\), \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\).
Чётность: функция нечётная, так как при любом \(x\) выполняется равенство \(\sqrt[2k+1]{-x} = -\sqrt[2k+1]{x}\).
Возрастание и убывание: функция возрастающая, так как она обратна к возрастающей функции \(y = x^{2k+1}\).
Ответ: \(D(y) = \mathbf{R}\); \(E(y) = \mathbf{R}\); единственный нуль \(x = 0\); \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\); функция нечётная и возрастающая.
Показатель корня \(2k\) чётный, поэтому запись \(\sqrt[2k]{x}\) обозначает арифметический корень и имеет смысл только при \(x \geqslant 0\). Функция \(y = \sqrt[2k]{x}\) является обратной к функции \(y = x^{2k}\), рассматриваемой на промежутке \([0;\ +\infty)\).
Область определения: \(D(y) = [0;\ +\infty)\).
Область значений: \(E(y) = [0;\ +\infty)\), так как уравнение \(\sqrt[2k]{x} = a\) при \(a \geqslant 0\) имеет корень \(x = a^{2k}\), а при \(a < 0\) корней не имеет.
Нули функции: \(y = 0\) только при \(x = 0\).
Промежутки знакопостоянства: \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\).
Чётность: функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не симметрична относительно начала координат.
Возрастание и убывание: функция возрастающая, так как она обратна к возрастающей функции \(y = x^{2k}\), где \(x \geqslant 0\).
Ответ: \(D(y) = [0;\ +\infty)\); \(E(y) = [0;\ +\infty)\); единственный нуль \(x = 0\); \(y > 0\) на промежутке \((0;\ +\infty)\); функция не является ни чётной, ни нечётной, и она возрастающая.
