Страница 11 номер 1.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Запишите с помощью символа \(\subset\) соотношение между множествами: \(A = \{x \mid x = 2n,\ n \in \mathbf{N}\}\); \(B = \{x \mid x = 50n,\ n \in \mathbf{N}\}\); \(C = \{x \mid x = 10n,\ n \in \mathbf{N}\}\); \(D = \{x \mid x = 5n,\ n \in \mathbf{N}\}\).
\(A\) — натуральные числа, кратные 2; \(B\) — кратные 50; \(C\) — кратные 10; \(D\) — кратные 5.
Пусть \(x \in B\): \(x = 50n = 10 \cdot 5n\), причём \(5n \in \mathbf{N}\), поэтому \(x \in C\) и \(B \subset C\).
Пусть \(x \in C\): \(x = 10n = 5 \cdot 2n\), причём \(2n \in \mathbf{N}\), поэтому \(x \in D\) и \(C \subset D\).
Для того же числа \(x = 10n = 2 \cdot 5n\), поэтому \(x \in A\) и \(C \subset A\).
Из \(B \subset C\) и \(C \subset A\) следует \(B \subset A\).
Множества \(A\) и \(D\) отношением включения не связаны: \(4 \in A\), но \(4 \notin D\); \(5 \in D\), но \(5 \notin A\).
Ответ: \(B \subset C \subset D\) и \(C \subset A\) (а значит, и \(B \subset A\)); множества \(A\) и \(D\) подмножествами одно другого не являются.
Запишите с помощью символа \(\subset\) соотношение между множествами: \(A = \{x \mid x = 2n,\ n \in \mathbf{N}\}\); \(B = \{x \mid x = 50n,\ n \in \mathbf{N}\}\); \(C = \{x \mid x = 10n,\ n \in \mathbf{N}\}\); \(D = \{x \mid x = 5n,\ n \in \mathbf{N}\}\).
Множество \(A\) состоит из натуральных чисел, кратных 2, множество \(B\) — из натуральных чисел, кратных 50, множество \(C\) — кратных 10, множество \(D\) — кратных 5.
Пусть \(x \in B\), то есть \(x = 50n\), где \(n \in \mathbf{N}\). Тогда \(x = 10 \cdot 5n\), причём \(5n \in \mathbf{N}\), поэтому \(x \in C\). Значит, \(B \subset C\).
Пусть \(x \in C\), то есть \(x = 10n\), где \(n \in \mathbf{N}\). Тогда \(x = 5 \cdot 2n\), причём \(2n \in \mathbf{N}\), поэтому \(x \in D\). Значит, \(C \subset D\).
Для того же числа \(x = 10n\) верно и представление \(x = 2 \cdot 5n\), причём \(5n \in \mathbf{N}\), то есть каждое число, кратное 10, чётно. Поэтому \(C \subset A\).
Из \(B \subset C\) и \(C \subset A\) следует также \(B \subset A\).
Множества \(A\) и \(D\) не связаны отношением включения: число 4 кратно 2, но не кратно 5, то есть \(4 \in A\) и \(4 \notin D\); число 5 кратно 5, но нечётно, то есть \(5 \in D\) и \(5 \notin A\).
Ответ: \(B \subset C \subset D\) и \(C \subset A\) (а значит, и \(B \subset A\)); множества \(A\) и \(D\) подмножествами одно другого не являются.
