Страница 11 номер 1.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Какие из следующих множеств равны пустому множеству: 1) \(A = \{x \mid x \in \mathbf{Z},\ x \ne x\}\); 2) \(B = \{x \mid x \in \mathbf{Z},\ \frac{1}{2}x - 2 = 0\}\); 3) \(C = \{x \mid x \in \mathbf{Z},\ |x| < 1\}\)?
1) Каждое число равно самому себе, поэтому условию \(x \ne x\) не удовлетворяет ни одно целое число: \(A = \varnothing\).
2) \(\frac{1}{2}x - 2 = 0\); \(\frac{1}{2}x = 2\), откуда \(x = 4\), причём \(4 \in \mathbf{Z}\). Значит, \(B = \{4\}\) и \(B \ne \varnothing\).
3) Для любого целого \(x\), отличного от нуля, верно \(|x| \geqslant 1\), поэтому неравенству \(|x| < 1\) удовлетворяет только \(x = 0\): \(C = \{0\}\) и \(C \ne \varnothing\) — это множество содержит один элемент.
Ответ: пустому множеству равно только множество \(A\); \(B = \{4\}\), \(C = \{0\}\).
Какие из следующих множеств равны пустому множеству: 1) \(A = \{x \mid x \in \mathbf{Z},\ x \ne x\}\); 2) \(B = \{x \mid x \in \mathbf{Z},\ \frac{1}{2}x - 2 = 0\}\); 3) \(C = \{x \mid x \in \mathbf{Z},\ |x| < 1\}\)?
Множество равно пустому, если ему не принадлежит ни один элемент.
1) Каждое число равно самому себе, поэтому условию \(x \ne x\) не удовлетворяет ни одно целое число. Значит, \(A = \varnothing\).
2) Решим уравнение \(\frac{1}{2}x - 2 = 0\): \(\frac{1}{2}x = 2\), откуда \(x = 4\). Число 4 целое, то есть \(4 \in \mathbf{Z}\), поэтому множеству \(B\) этот элемент принадлежит: \(B = \{4\}\) и \(B \ne \varnothing\).
3) Неравенству \(|x| < 1\) среди целых чисел удовлетворяет только \(x = 0\): для любого целого \(x\), отличного от нуля, выполняется \(|x| \geqslant 1\). Значит, \(C = \{0\}\) и \(C \ne \varnothing\). Множество \(\{0\}\) пустым не является: оно содержит один элемент — число 0.
Ответ: пустому множеству равно только множество \(A\); \(B = \{4\}\), \(C = \{0\}\).
