Страница 11 номер 1.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Равны ли множества \(A\) и \(B\): 1) \(A = \{1\}\), \(B = \{\{1\}\}\); 2) \(A = \{x \mid x \leqslant 3,\ x \in \mathbf{Z}\}\), \(B = \{x \mid x < 4,\ x \in \mathbf{Z}\}\); 3) \(A = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x \leqslant 15,\ x = 19k,\ k \in \mathbf{Z}\}\), \(B = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ 3 < x < 4\}\)?
1) Элемент множества \(A\) — число 1, а элемент множества \(B\) — множество \(\{1\}\); это разные объекты, поэтому \(A \ne B\) (здесь верно \(A \in B\)).
2) Между числами 3 и 4 целых чисел нет, поэтому для целого \(x\) неравенства \(x \leqslant 3\) и \(x < 4\) выполняются одновременно: \(A = B = \{\ldots,\ 1,\ 2,\ 3\}\).
3) Наименьшее натуральное число, кратное 19, — само число 19, а \(19 > 15\), поэтому \(A = \varnothing\).
Между числами 3 и 4 натуральных чисел нет, поэтому \(B = \varnothing\).
Оба множества пусты, то есть состоят из одних и тех же элементов, значит, \(A = B\).
Ответ: 1) не равны; 2) равны; 3) равны.
Равны ли множества \(A\) и \(B\): 1) \(A = \{1\}\), \(B = \{\{1\}\}\); 2) \(A = \{x \mid x \leqslant 3,\ x \in \mathbf{Z}\}\), \(B = \{x \mid x < 4,\ x \in \mathbf{Z}\}\); 3) \(A = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x \leqslant 15,\ x = 19k,\ k \in \mathbf{Z}\}\), \(B = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ 3 < x < 4\}\)?
1) Множество \(A = \{1\}\) содержит один элемент — число 1. Множество \(B = \{\{1\}\}\) тоже содержит один элемент, но этим элементом является множество \(\{1\}\). Число 1 и множество \(\{1\}\) — разные объекты, поэтому \(A \ne B\). Здесь верно другое соотношение: \(A \in B\).
2) Множество \(A\) состоит из всех целых чисел \(x\), для которых \(x \leqslant 3\), а множество \(B\) — из всех целых чисел \(x\), для которых \(x < 4\).
Между числами 3 и 4 целых чисел нет, поэтому для целого числа \(x\) неравенства \(x \leqslant 3\) и \(x < 4\) выполняются или не выполняются одновременно. Значит, множества \(A\) и \(B\) состоят из одних и тех же элементов: \(A = B = \{\ldots,\ 1,\ 2,\ 3\}\).
3) Множество \(A\) состоит из натуральных чисел \(x \leqslant 15\), кратных 19. Наименьшее натуральное число, кратное 19, — это само число 19, а \(19 > 15\), поэтому таких чисел нет и \(A = \varnothing\).
Множество \(B\) состоит из натуральных чисел \(x\), для которых \(3 < x < 4\). Между числами 3 и 4 натуральных чисел нет, поэтому \(B = \varnothing\).
Оба множества пусты, то есть состоят из одних и тех же элементов (ни одного), значит, \(A = B\).
Ответ: 1) не равны; 2) равны; 3) равны.
