Страница 11 номер 1.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Равны ли множества \(A\) и \(B\): 1) \(A = \{1,\ 2\}\), \(B = \{2,\ 1\}\); 2) \(A = \{(0;\ 1)\}\), \(B = \{(1;\ 0)\}\); 3) \(A = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x \text{ кратно 2 и 3}\}\), \(B = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x \text{ кратно } 6\}\)?
1) Множества \(A\) и \(B\) состоят из одних и тех же элементов — чисел 1 и 2, а порядок перечисления множества не меняет, поэтому \(A = B\).
2) У упорядоченной пары важен порядок чисел: первое число пары \((0;\ 1)\) равно 0, а пары \((1;\ 0)\) равно 1, поэтому \((0;\ 1) \ne (1;\ 0)\) и \(A \ne B\).
3) Пусть \(x \in A\): из кратности 3 получаем \(x = 3k\), \(k \in \mathbf{N}\); число \(3k\) чётно только при чётном \(k\), поэтому \(k = 2m\) и \(x = 3 \cdot 2m = 6m\), то есть \(x \in B\) и \(A \subset B\).
Пусть \(x \in B\): \(x = 6m = 2 \cdot 3m = 3 \cdot 2m\), то есть \(x\) кратно и 2, и 3, поэтому \(x \in A\) и \(B \subset A\).
Из \(A \subset B\) и \(B \subset A\) следует \(A = B\).
Ответ: 1) равны; 2) не равны; 3) равны.
Равны ли множества \(A\) и \(B\): 1) \(A = \{1,\ 2\}\), \(B = \{2,\ 1\}\); 2) \(A = \{(0;\ 1)\}\), \(B = \{(1;\ 0)\}\); 3) \(A = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x \text{ кратно 2 и 3}\}\), \(B = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x \text{ кратно } 6\}\)?
Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов; проверить это можно, показав, что каждое из них является подмножеством другого.
1) Множества \(A\) и \(B\) состоят из одних и тех же элементов — чисел 1 и 2. Порядок, в котором перечислены элементы, множества не меняет, поэтому \(A = B\).
2) Единственный элемент множества \(A\) — упорядоченная пара \((0;\ 1)\), единственный элемент множества \(B\) — упорядоченная пара \((1;\ 0)\). У пары важен порядок чисел: первое число пары \((0;\ 1)\) равно 0, а первое число пары \((1;\ 0)\) равно 1, поэтому \((0;\ 1) \ne (1;\ 0)\). Значит, множества \(A\) и \(B\) состоят из разных элементов и \(A \ne B\).
3) Пусть \(x \in A\), то есть натуральное число \(x\) кратно 2 и кратно 3. Из кратности 3 следует, что \(x = 3k\), где \(k \in \mathbf{N}\). Число \(3k\) чётно только при чётном \(k\), поэтому \(k = 2m\), где \(m \in \mathbf{N}\), и тогда \(x = 3 \cdot 2m = 6m\), то есть \(x\) кратно 6 и \(x \in B\). Значит, \(A \subset B\).
Пусть теперь \(x \in B\), то есть \(x = 6m\), где \(m \in \mathbf{N}\). Тогда \(x = 2 \cdot 3m\) и \(x = 3 \cdot 2m\), то есть \(x\) кратно и 2, и 3, поэтому \(x \in A\). Значит, \(B \subset A\).
Из того, что \(A \subset B\) и \(B \subset A\), следует, что \(A = B\).
Ответ: 1) равны; 2) не равны; 3) равны.
