Страница 12 номер 1.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите подмножества \(A\) и \(B\) множества \(C\) такие, что для любого подмножества \(X\) множества \(C\) выполняется равенство \(X \cap A = X \cup B\).
Пусть \(X = C\). Так как \(A \subset C\), то \(C \cap A = A\); так как \(B \subset C\), то \(C \cup B = C\), и равенство принимает вид \(A = C\).
Пусть \(X = \varnothing\). Тогда \(\varnothing \cap A = \varnothing\) и \(\varnothing \cup B = B\), и равенство принимает вид \(B = \varnothing\).
Проверка: при \(A = C\) и \(B = \varnothing\) для любого \(X \subset C\) верно \(X \cap A = X \cap C = X\) и \(X \cup B = X \cup \varnothing = X\).
Ответ: \(A = C\), \(B = \varnothing\).
Найдите подмножества \(A\) и \(B\) множества \(C\) такие, что для любого подмножества \(X\) множества \(C\) выполняется равенство \(X \cap A = X \cup B\).
По условию \(A \subset C\) и \(B \subset C\), а равенство \(X \cap A = X \cup B\) выполняется для любого подмножества \(X\) множества \(C\). Подставим вместо \(X\) те подмножества множества \(C\), для которых обе части равенства вычисляются сразу.
Пусть \(X = C\). Так как \(A \subset C\), то \(C \cap A = A\); так как \(B \subset C\), то \(C \cup B = C\). Данное равенство принимает вид \(A = C\).
Пусть \(X = \varnothing\). Тогда \(\varnothing \cap A = \varnothing\) и \(\varnothing \cup B = B\). Данное равенство принимает вид \(\varnothing = B\), то есть \(B = \varnothing\).
Проверка: пусть \(A = C\) и \(B = \varnothing\). Для любого подмножества \(X\) множества \(C\) выполняется \(X \subset C\), поэтому \(X \cap A = X \cap C = X\); кроме того, \(X \cup B = X \cup \varnothing = X\). Значит, равенство \(X \cap A = X \cup B\) выполняется для каждого подмножества \(X\) множества \(C\).
Ответ: \(A = C\), \(B = \varnothing\).
