Вопросы после параграфа §2 на странице 18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
1. Как найти количество элементов множества \(A \cup B\)? 2. Как найти количество элементов множества \(A \cup B \cup C\)? 3. В каких случаях говорят, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие? 4. Какие множества называют равномощными? 5. Какое множество называют счётным?
Если \(A \cap B = \varnothing\), то \[n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B).\]
Если \(A \cap B \ne \varnothing\), то каждый общий элемент учтён в сумме \(n\,(A) + n\,(B)\) дважды, поэтому количество элементов пересечения вычитают один раз: \[n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B).\]
Вторая формула является обобщением первой: при \(A \cap B = \varnothing\) имеем \(n\,(A \cap B) = 0\).
Ответ: \(n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B)\), а для множеств без общих элементов \(n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B)\).
Формула включения-исключения: \[\begin{aligned} &n\,(A \cup B \cup C) = n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) - {} \\ &- n\,(A \cap B) - n\,(B \cap C) - n\,(C \cap A) + {} \\ &+ n\,(A \cap B \cap C). \end{aligned}\]
Элемент, принадлежащий ровно двум множествам, учтён в сумме \(n\,(A) + n\,(B) + n\,(C)\) дважды — его вычитают вместе с попарными пересечениями; элемент, принадлежащий всем трём множествам, учтён трижды и трижды вычтен, поэтому количество таких элементов прибавляют.
Ответ: \(n\,(A \cup B \cup C) = n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) - n\,(A \cap B) - n\,(B \cap C) - n\,(C \cap A) + n\,(A \cap B \cap C)\).
Когда каждому элементу множества \(A\) поставлен в соответствие единственный элемент множества \(B\) и каждый элемент множества \(B\) оказывается соответствующим некоторому единственному элементу множества \(A\).
Если же в множестве \(B\) есть элемент, которому не отвечает ни один элемент множества \(A\) или отвечают сразу два, соответствие не является взаимно однозначным.
Ответ: когда каждому элементу первого множества отвечает единственный элемент второго и каждый элемент второго множества отвечает единственному элементу первого.
Равномощными называют множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие.
Для конечных множеств это означает \(n\,(A) = n\,(B)\); бесконечное множество может быть равномощно своему собственному подмножеству — множество \(\mathbf{N}\) равномощно множеству чётных чисел.
Ответ: равномощными называют множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие.
Счётным называют множество, равномощное множеству \(\mathbf{N}\), то есть множество, все элементы которого можно пронумеровать.
Счётны множество чётных чисел, множество \(\mathbf{Z}\) (его элементы располагают в последовательность \(0,\ 1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 3,\ -3,\ \ldots\)) и множество \(\mathbf{Q}\). Но счётно не всякое бесконечное множество: множество всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц пронумеровать нельзя.
Ответ: счётным называют множество, равномощное множеству натуральных чисел, то есть множество, все элементы которого можно пронумеровать.
1. Как найти количество элементов множества \(A \cup B\)? 2. Как найти количество элементов множества \(A \cup B \cup C\)? 3. В каких случаях говорят, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие? 4. Какие множества называют равномощными? 5. Какое множество называют счётным?
Если конечные множества \(A\) и \(B\) не имеют общих элементов, то есть \(A \cap B = \varnothing\), то количество элементов объединения равно сумме количеств элементов этих множеств: \[n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B).\]
Если же \(A \cap B \ne \varnothing\), то в сумме \(n\,(A) + n\,(B)\) каждый общий элемент учтён дважды, поэтому количество элементов пересечения надо вычесть один раз: \[n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B).\]
Вторая формула является обобщением первой: при \(A \cap B = \varnothing\) имеем \(n\,(A \cap B) = 0\).
Например, если в классе английский язык изучают 20 учеников, французский — 18, а оба языка — 6 учеников, то хотя бы один из этих языков изучают \(20 + 18 - 6 = 32\) ученика.
Ответ: \(n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B) - n\,(A \cap B)\), а для множеств без общих элементов \(n\,(A \cup B) = n\,(A) + n\,(B)\).
Для трёх конечных множеств количество элементов объединения находят по формуле включения-исключения: \[\begin{aligned} &n\,(A \cup B \cup C) = n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) - {} \\ &- n\,(A \cap B) - n\,(B \cap C) - n\,(C \cap A) + {} \\ &+ n\,(A \cap B \cap C). \end{aligned}\]
Каждый элемент, принадлежащий ровно двум из множеств, учтён в сумме \(n\,(A) + n\,(B) + n\,(C)\) дважды — его количество вычитается вместе с попарными пересечениями. Каждый элемент, принадлежащий всем трём множествам, учтён в этой сумме трижды и трижды вычтен, поэтому количество таких элементов прибавляют.
Если \(A \cap B \cap C = \varnothing\), то последнее слагаемое равно нулю и формула принимает вид \(n\,(A \cup B \cup C) = n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) - n\,(A \cap B) - n\,(B \cap C) - n\,(C \cap A)\).
Например, если \(n\,(A) = n\,(B) = n\,(C) = 10\), каждые два из этих множеств имеют 3 общих элемента, а все три — 1 общий элемент, то \(n\,(A \cup B \cup C) = 10 + 10 + 10 - 3 - 3 - 3 + 1 = 22\).
Ответ: \(n\,(A \cup B \cup C) = n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) - n\,(A \cap B) - n\,(B \cap C) - n\,(C \cap A) + n\,(A \cap B \cap C)\).
Так говорят, когда выполнены сразу два условия: каждому элементу множества \(A\) поставлен в соответствие единственный элемент множества \(B\), и при этом любой элемент множества \(B\) оказывается соответствующим некоторому единственному элементу множества \(A\).
Например, каждому натуральному числу \(n\) поставим в соответствие чётное число \(2n\). Каждому натуральному числу отвечает единственное чётное число, и каждое чётное число отвечает единственному натуральному числу, поэтому между множеством \(\mathbf{N}\) и множеством чётных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.
Если же в множестве \(B\) найдётся элемент, которому не отвечает ни один элемент множества \(A\), или элемент, которому отвечают сразу два элемента множества \(A\), то соответствие не является взаимно однозначным.
Ответ: когда каждому элементу первого множества отвечает единственный элемент второго и каждый элемент второго множества отвечает единственному элементу первого.
Равномощными называют два множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие.
Для конечных множеств равномощность означает, что \(n\,(A) = n\,(B)\). Для бесконечных множеств слово «мощность» означает то же, что для конечных «количество элементов», и здесь возможно то, что невозможно для конечных множеств: множество равномощно своему собственному подмножеству. Так, множество \(\mathbf{N}\) равномощно множеству чётных чисел — соответствие \(n \leftrightarrow 2n\) взаимно однозначное.
Ответ: равномощными называют множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие.
Счётным называют множество, равномощное множеству натуральных чисел. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством \(A\) и множеством \(\mathbf{N}\) — это то же самое, что пронумеровать все элементы множества \(A\).
Например, счётно множество чётных чисел (соответствие \(n \leftrightarrow 2n\)) и счётно множество \(\mathbf{Z}\): его элементы можно расположить в последовательность \(0,\ 1,\ -1,\ 2,\ -2,\ 3,\ -3,\ \ldots\) и присвоить каждому номер. Счётно и множество \(\mathbf{Q}\).
Не всякое бесконечное множество счётно: множество всех бесконечных последовательностей из нулей и единиц пронумеровать нельзя.
Ответ: счётным называют множество, равномощное множеству натуральных чисел, то есть множество, все элементы которого можно пронумеровать.
