Страница 12 номер 1.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите разность множеств \(A\) и \(B\), если: 1) \(A = \mathbf{N}\), \(B = \{x \mid x = 2n,\ n \in \mathbf{N}\}\); 2) \(A\) — множество однозначных чисел, \(B\) — множество простых чисел; 3) \(A\) — множество равносторонних треугольников, \(B\) — множество равнобедренных треугольников.
1) Множество \(B\) — чётные натуральные числа, \(A = \mathbf{N}\), поэтому в разность входят все нечётные натуральные числа: \(A \setminus B = \{x \mid x = 2n - 1,\ n \in \mathbf{N}\} = \{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots\}\).
2) Однозначные числа: \(A = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}\); простые среди них — 2, 3, 5 и 7 (число 1 простым не является, числа 4, 6, 8 и 9 составные).
\(A \setminus B = \{1,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9\}\).
3) У равностороннего треугольника есть две равные стороны, значит, каждый равносторонний треугольник равнобедренный: \(A \subset B\), поэтому \(A \setminus B = \varnothing\).
Ответ: 1) множество всех нечётных натуральных чисел \(\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots\}\); 2) \(\{1,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9\}\); 3) \(\varnothing\).
Найдите разность множеств \(A\) и \(B\), если: 1) \(A = \mathbf{N}\), \(B = \{x \mid x = 2n,\ n \in \mathbf{N}\}\); 2) \(A\) — множество однозначных чисел, \(B\) — множество простых чисел; 3) \(A\) — множество равносторонних треугольников, \(B\) — множество равнобедренных треугольников.
1) Множество \(B\) состоит из натуральных чисел вида \(2n\), то есть из чётных натуральных чисел, а \(A = \mathbf{N}\).
Разность \(A \setminus B\) состоит из натуральных чисел, не являющихся чётными, то есть из всех нечётных натуральных чисел: \(A \setminus B = \{x \mid x = 2n - 1,\ n \in \mathbf{N}\} = \{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots\}\).
2) Однозначные числа образуют множество \(A = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}\).
Простыми среди них являются числа 2, 3, 5 и 7 — только они имеют ровно два различных натуральных делителя. Число 1 простым не является, а числа 4, 6, 8 и 9 составные.
В разность \(A \setminus B\) входят те однозначные числа, которые множеству простых чисел не принадлежат: \(A \setminus B = \{1,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9\}\).
3) У равностороннего треугольника все три стороны равны, значит, у него есть и две равные стороны, то есть каждый равносторонний треугольник является равнобедренным. Следовательно, \(A \subset B\), а тогда \(A \setminus B = \varnothing\).
Ответ: 1) множество всех нечётных натуральных чисел \(\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots\}\); 2) \(\{1,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9\}\); 3) \(\varnothing\).
