Страница 12 номер 1.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите объединение множеств \(A\) и \(B\), если: 1) \(A = \{x \mid x^2 - 1 = 0\}\), \(B = \{x \mid (x - 1)(x - 2) = 0\}\); 2) \(A = \{x \mid 2x + 3 = 0\}\), \(B = \{x \mid x^2 + 3 = 2\}\); 3) \(A = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x < 5\}\), \(B = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x < 7\}\).
1) \(x^2 - 1 = 0\); \(x^2 = 1\), откуда \(x = -1\) или \(x = 1\): \(A = \{-1,\ 1\}\).
\((x - 1)(x - 2) = 0\) при \(x = 1\) или \(x = 2\): \(B = \{1,\ 2\}\).
\(A \cup B = \{-1,\ 1,\ 2\}\).
2) \(2x + 3 = 0\); \(2x = -3\), \(x = -1{,}5\): \(A = \{-1{,}5\}\).
\(x^2 + 3 = 2\), то есть \(x^2 = -1\); квадрат числа отрицательным быть не может, поэтому \(B = \varnothing\).
Так как \(A \cup \varnothing = A\), то \(A \cup B = \{-1{,}5\}\).
3) Натуральные числа, меньшие 5: \(A = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\).
Натуральные числа, меньшие 7: \(B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
\(A \subset B\), поэтому \(A \cup B = B\).
Ответ: 1) \(\{-1,\ 1,\ 2\}\); 2) \(\{-1{,}5\}\); 3) \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
Найдите объединение множеств \(A\) и \(B\), если: 1) \(A = \{x \mid x^2 - 1 = 0\}\), \(B = \{x \mid (x - 1)(x - 2) = 0\}\); 2) \(A = \{x \mid 2x + 3 = 0\}\), \(B = \{x \mid x^2 + 3 = 2\}\); 3) \(A = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x < 5\}\), \(B = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x < 7\}\).
1) Множество \(A\) — множество корней уравнения \(x^2 - 1 = 0\). Из \(x^2 = 1\) получаем \(x = -1\) или \(x = 1\), поэтому \(A = \{-1,\ 1\}\).
Множество \(B\) — множество корней уравнения \((x - 1)(x - 2) = 0\). Произведение равно нулю, когда \(x - 1 = 0\) или \(x - 2 = 0\), то есть \(x = 1\) или \(x = 2\), поэтому \(B = \{1,\ 2\}\).
Объединение состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: \(A \cup B = \{-1,\ 1,\ 2\}\).
2) Из уравнения \(2x + 3 = 0\) получаем \(2x = -3\), \(x = -1{,}5\), поэтому \(A = \{-1{,}5\}\).
Уравнение \(x^2 + 3 = 2\) равносильно уравнению \(x^2 = -1\). Квадрат числа отрицательным быть не может, поэтому корней нет и \(B = \varnothing\).
Так как \(A \cup \varnothing = A\), то \(A \cup B = \{-1{,}5\}\).
3) Множество \(A\) состоит из натуральных чисел, меньших 5: \(A = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}\). Множество \(B\) состоит из натуральных чисел, меньших 7: \(B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
Каждый элемент множества \(A\) принадлежит множеству \(B\), то есть \(A \subset B\), а тогда \(A \cup B = B\).
Ответ: 1) \(\{-1,\ 1,\ 2\}\); 2) \(\{-1{,}5\}\); 3) \(\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\).
