Страница 12 номер 1.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите пересечение множеств \(A\) и \(B\), если: 1) \(A = \{x \mid x < 19\}\), \(B = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x > 11\}\); 2) \(A = \{x \mid x = 4n,\ n \in \mathbf{N}\}\), \(B = \{x \mid x = 6n,\ n \in \mathbf{N}\}\); 3) \(A = \{(x,\ y) \mid 2x - y = 1\}\), \(B = \{(x,\ y) \mid x + y = 5\}\).
1) Общие элементы — натуральные числа \(x\), для которых \(11 < x < 19\): \(A \cap B = \{12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18\}\).
2) Общий элемент — натуральное число, кратное и 4, и 6, то есть кратное их наименьшему общему кратному 12: \(A \cap B = \{x \mid x = 12n,\ n \in \mathbf{N}\} = \{12,\ 24,\ 36,\ \ldots\}\).
3) Пара принадлежит пересечению, если её числа удовлетворяют обоим уравнениям: \[\begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 5. \end{cases}\]
Сложив уравнения почленно, получаем \(3x = 6\), откуда \(x = 2\); тогда \(y = 5 - 2 = 3\).
Пересечение состоит из одной пары: \(A \cap B = \{(2;\ 3)\}\).
Ответ: 1) \(\{12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18\}\); 2) \(\{x \mid x = 12n,\ n \in \mathbf{N}\}\) — множество натуральных чисел, кратных 12; 3) \(\{(2;\ 3)\}\).
Найдите пересечение множеств \(A\) и \(B\), если: 1) \(A = \{x \mid x < 19\}\), \(B = \{x \mid x \in \mathbf{N},\ x > 11\}\); 2) \(A = \{x \mid x = 4n,\ n \in \mathbf{N}\}\), \(B = \{x \mid x = 6n,\ n \in \mathbf{N}\}\); 3) \(A = \{(x,\ y) \mid 2x - y = 1\}\), \(B = \{(x,\ y) \mid x + y = 5\}\).
1) Множество \(A\) состоит из всех чисел, меньших 19 (никаких ограничений на вид числа условие не накладывает), а множество \(B\) — из натуральных чисел, больших 11.
Общими для этих множеств являются натуральные числа \(x\), для которых \(11 < x < 19\). Это числа 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18, поэтому \(A \cap B = \{12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18\}\).
2) Множество \(A\) состоит из натуральных чисел, кратных 4, множество \(B\) — из натуральных чисел, кратных 6. Общий элемент — это натуральное число, кратное и 4, и 6, то есть кратное их наименьшему общему кратному — числу 12.
Значит, \(A \cap B = \{x \mid x = 12n,\ n \in \mathbf{N}\} = \{12,\ 24,\ 36,\ \ldots\}\).
3) Элемент множества \(A\) — это пара \((x;\ y)\), для которой \(2x - y = 1\); элемент множества \(B\) — пара, для которой \(x + y = 5\). Пара принадлежит пересечению, если её числа удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются решением системы \[\begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 5. \end{cases}\]
Сложив уравнения системы почленно, получаем \(3x = 6\), откуда \(x = 2\). Тогда из второго уравнения \(y = 5 - 2 = 3\).
Значит, пересечение состоит из одной пары: \(A \cap B = \{(2;\ 3)\}\).
Ответ: 1) \(\{12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18\}\); 2) \(\{x \mid x = 12n,\ n \in \mathbf{N}\}\) — множество натуральных чисел, кратных 12; 3) \(\{(2;\ 3)\}\).
