Страница 56 номер 68, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Петя вбил в землю 5 колышков и соединил некоторые из них верёвками. Могло ли так получиться, что к каждому колышку привязано ровно по 3 верёвки?
Колышки — вершины, верёвки — рёбра; между двумя колышками верёвок может быть несколько, поэтому получается мультиграф. Число верёвок при колышке — степень вершины.
Если бы к каждому из пяти колышков было привязано ровно по 3 верёвки, сумма степеней равнялась бы \(5 \cdot 3 = 15\) — число нечётное, а сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер и потому чётна. Противоречие.
Ответ: нет, так получиться не могло: сумма степеней всех вершин равнялась бы \(5 \cdot 3 = 15\), а она обязана быть чётной, поскольку равна удвоенному числу верёвок.
Петя вбил в землю 5 колышков и соединил некоторые из них верёвками. Могло ли так получиться, что к каждому колышку привязано ровно по 3 верёвки?
Сопоставим каждому колышку вершину, а каждой верёвке — ребро между вершинами тех колышков, которые она связывает. Между двумя колышками верёвок может быть протянуто и несколько, поэтому получается мультиграф; теорема о сумме степеней верна и для мультиграфа.
Число верёвок, привязанных к колышку, — это степень соответствующей вершины. Если бы к каждому из пяти колышков было привязано ровно по 3 верёвки, сумма степеней всех вершин равнялась бы \(5 \cdot 3 = 15\).
Но сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер и потому чётна, а 15 — число нечётное. Получилось противоречие.
Ответ: нет, так получиться не могло: сумма степеней всех вершин равнялась бы \(5 \cdot 3 = 15\), а она обязана быть чётной, поскольку равна удвоенному числу верёвок.
