Страница 55 номер 67, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер, поэтому она обязана быть чётной.
а) Сумма степеней \(7 \cdot 2 = 14\) — чётное число, граф есть: семь вершин по кругу, каждая соединена со следующей, а последняя — с первой; это простой цикл из семи вершин, все степени равны 2.
б) Сумма степеней \(8 \cdot 2 = 16\) — чётное число, и так же по кругу соединяются восемь вершин: простой цикл, все степени равны 2.
в) Сумма степеней \(8 \cdot 1 = 8\) — чётное число. Разобьём восемь вершин на четыре пары и в каждой проведём ребро: у каждой вершины ровно одно ребро. Граф несвязный, но графу это не запрещено.
г) Сумма степеней \(7 \cdot 1 = 7\) — нечётное число, такого графа не существует.
д) Сумма степеней \(7 \cdot 3 = 21\) — нечётное число, такого графа не существует.
е) Сумма степеней \(8 \cdot 3 = 24\) — чётное число, рёбер \(24 : 2 = 12\). Граф есть: каркас куба — 8 вершин, 12 рёбер, в каждой вершине сходятся три ребра.
Ответ: а) да, существует — простой цикл из семи вершин; б) да, существует — простой цикл из восьми вершин; в) да, существует — восемь вершин, разбитых на пары, и четыре отдельных ребра; г) нет, не существует, так как сумма степеней \(7 \cdot 1 = 7\) нечётна; д) нет, не существует, так как сумма степеней \(7 \cdot 3 = 21\) нечётна; е) да, существует — каркас куба (8 вершин, 12 рёбер).
Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его рёбер, поэтому она обязана быть чётной. С этой проверки и начнём каждый пункт.
а) Сумма степеней равна \(7 \cdot 2 = 14\) — число чётное, препятствий нет. Такой граф существует: расставим семь вершин по кругу и соединим каждую со следующей, а последнюю — с первой. Каждая вершина соединена ровно с двумя соседями, значит, все степени равны 2. Это простой цикл из семи вершин.
б) Сумма степеней равна \(8 \cdot 2 = 16\) — число чётное. Точно так же соединим по кругу восемь вершин: получится простой цикл из восьми вершин, все степени в нём равны 2.
в) Сумма степеней равна \(8 \cdot 1 = 8\) — число чётное. Разобьём восемь вершин на четыре пары и в каждой паре проведём ребро. Тогда у каждой вершины ровно одно ребро, то есть степень 1. Граф получается несвязным — он состоит из четырёх отдельных частей, но графу это не запрещено.
г) Сумма степеней равна \(7 \cdot 1 = 7\) — число нечётное, а сумма степеней всех вершин чётна. Такого графа не существует.
д) Сумма степеней равна \(7 \cdot 3 = 21\) — число нечётное. По той же причине такого графа не существует.
е) Сумма степеней равна \(8 \cdot 3 = 24\) — число чётное, и препятствия нет. Значит, рёбер должно быть \(24 : 2 = 12\). Такой граф существует: это каркас куба. У куба 8 вершин и 12 рёбер, и в каждой вершине сходятся ровно три ребра.
Ответ: а) да, существует — простой цикл из семи вершин; б) да, существует — простой цикл из восьми вершин; в) да, существует — восемь вершин, разбитых на пары, и четыре отдельных ребра; г) нет, не существует, так как сумма степеней \(7 \cdot 1 = 7\) нечётна; д) нет, не существует, так как сумма степеней \(7 \cdot 3 = 21\) нечётна; е) да, существует — каркас куба (8 вершин, 12 рёбер).
