Страница 46 номер 66, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Докажите, что стандартное отклонение любого числового набора не больше, чем его размах.
Пусть в наборе \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) наибольшее число \(M\), наименьшее \(m\); тогда размах равен \(M - m\), а каждое число удовлетворяет неравенству \(m \leqslant x_i \leqslant M\).
Среднее \(\overline{x}\) тоже лежит между \(m\) и \(M\): сумма \(n\) чисел не меньше \(nm\) и не больше \(nM\), а после деления на \(n\) получаем \(m \leqslant \overline{x} \leqslant M\).
Число \(x_i\) не больше \(M\), а среднее не меньше \(m\), поэтому \(x_i - \overline{x} \leqslant M - m\); так же \(\overline{x} \leqslant M\) и \(x_i \geqslant m\), поэтому \(\overline{x} - x_i \leqslant M - m\). Значит, для каждого числа набора
\[|x_i - \overline{x}| \leqslant M - m.\]
Обе части неотрицательны, возведём их в квадрат: \((x_i - \overline{x})^2 \leqslant (M - m)^2\). Каждое из \(n\) слагаемых в определении дисперсии не превосходит \((M - m)^2\), поэтому и их среднее арифметическое не превосходит этого числа:
\[S^2 = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n} \leqslant (M - m)^2.\]
Числа \(S\) и \(M - m\) неотрицательны, а из неравенства между квадратами неотрицательных чисел следует такое же неравенство между ними самими: \(S \leqslant M - m\), что и требовалось доказать.
Ответ: среднее арифметическое лежит между наименьшим и наибольшим числами набора, поэтому каждое отклонение от среднего по модулю не превосходит размаха; тогда \(S^2 \leqslant (M - m)^2\) и, значит, \(S \leqslant M - m\).
Докажите, что стандартное отклонение любого числового набора не больше, чем его размах.
Пусть дан произвольный набор чисел \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\). Обозначим его наибольшее число через \(M\), наименьшее — через \(m\), тогда размах набора равен \(M - m\), а каждое число набора удовлетворяет двойному неравенству \(m \leqslant x_i \leqslant M\).
Среднее арифметическое \(\overline{x}\) тоже лежит между \(m\) и \(M\): сумма \(n\) чисел, каждое из которых заключено между \(m\) и \(M\), не меньше \(nm\) и не больше \(nM\), а после деления на \(n\) получаем \(m \leqslant \overline{x} \leqslant M\).
Оценим теперь отклонение любого числа от среднего. Число \(x_i\) не больше \(M\), а среднее \(\overline{x}\) не меньше \(m\), поэтому \(x_i - \overline{x} \leqslant M - m\). Точно так же \(\overline{x} \leqslant M\) и \(x_i \geqslant m\), поэтому \(\overline{x} - x_i \leqslant M - m\). Значит, для каждого числа набора
\[|x_i - \overline{x}| \leqslant M - m.\]
Обе части этого неравенства неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат: \((x_i - \overline{x})^2 \leqslant (M - m)^2\). Каждое из \(n\) слагаемых в определении дисперсии не превосходит \((M - m)^2\), поэтому и их среднее арифметическое не превосходит этого числа:
\[S^2 = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n} \leqslant (M - m)^2.\]
Числа \(S\) и \(M - m\) неотрицательны, а из неравенства между квадратами неотрицательных чисел следует такое же неравенство между ними самими: \(S \leqslant M - m\). Стандартное отклонение не больше размаха, что и требовалось доказать.
Ответ: среднее арифметическое лежит между наименьшим и наибольшим числами набора, поэтому каждое отклонение от среднего по модулю не превосходит размаха; тогда \(S^2 \leqslant (M - m)^2\) и, значит, \(S \leqslant M - m\).
