Лабораторная работа № 2 на странице 46, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Задание 1. Анализ вашей успеваемости (продолжение).

Больше всего текущих отметок оказалось по алгебре. Возьмём для примера такие десять отметок: \(4;\ 5;\ 4;\ 3;\ 5;\ 4;\ 4;\ 5;\ 3;\ 4\).

Заносим их в ячейки A1:A10. Число повторений каждой отметки:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Отметка} & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Число повторений} & 2 & 5 & 3 \\ \hline \end{array}\]

Средние характеристики записываем в столбец B.

В ячейку B1 вписываем `=МОДА(A1:A10)`. Чаще всего в наборе стоит четвёрка — пять раз, поэтому мода равна 4.

В ячейку B2 вписываем `=СРЗНАЧ(A1:A10)`. Среднее арифметическое считаем через число повторений:

\[\bar{x} = \frac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 3}{10} = \frac{6 + 20 + 15}{10} = \frac{41}{10} = 4{,}1.\]

В ячейку B3 вписываем `=МЕДИАНА(A1:A10)`. Упорядоченный ряд отметок: \(3;\ 3;\ 4;\ 4;\ 4;\ 4;\ 4;\ 5;\ 5;\ 5\). Чисел десять, число чётное, поэтому медиана равна полусумме пятого и шестого чисел: \((4 + 4) : 2 = 4\).

Характеристики разброса записываем в столбец C.

В ячейку C1 вписываем `=МАКС(A1:A10)-МИН(A1:A10)` — размах равен \(5 - 3 = 2\) (балла).

В ячейку C2 вписываем `=ДИСПР(A1:A10)`. Дисперсию удобнее считать по формуле \(S^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2\). Среднее арифметическое квадратов отметок равно

\[\overline{x^2} = \frac{9 \cdot 2 + 16 \cdot 5 + 25 \cdot 3}{10} = \frac{18 + 80 + 75}{10} = \frac{173}{10} = 17{,}3.\]

Отсюда дисперсия равна

\[S^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 17{,}3 - 4{,}1^2 = 17{,}3 - 16{,}81 = 0{,}49.\]

В ячейку C3 вписываем `=СТАНДОТКЛОНП(A1:A10)`. Стандартное отклонение — корень из дисперсии: \(S = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7\) (балла).

Какую отметку выставить. Все три средние характеристики указывают на одно и то же значение: мода 4, медиана 4, среднее арифметическое \(4{,}1\) при округлении до целого тоже даёт 4. Разброс невелик: размах всего 2 балла, стандартное отклонение \(0{,}7\) балла, то есть отметки держатся около четвёрки и провалов, которые тянули бы итог вниз, нет. Итоговая отметка — 4.

Задание 2. Числовые характеристики возраста.

Возьмём для примера класс из одиннадцати учеников, а возраст будем считать на 1 сентября 2026 г.

Дни рождения записываем в ячейки A1:A11 в формате даты. В ячейку B1 вписываем `=СЕГОДНЯ()-A1` и «протягиваем» формулу вниз до B11; ячейкам столбца B задаём числовой формат, иначе таблица покажет разность датой, а не числом дней.

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Ученик} & \text{Дата рождения} & \text{Возраст, дней} \\ \hline 1 & \text{08.09.2009} & 6202 \\ \hline 2 & \text{03.10.2009} & 6177 \\ \hline 3 & \text{17.11.2009} & 6132 \\ \hline 4 & \text{12.12.2009} & 6107 \\ \hline 5 & \text{12.12.2009} & 6107 \\ \hline 6 & \text{19.01.2010} & 6069 \\ \hline 7 & \text{04.02.2010} & 6053 \\ \hline 8 & \text{30.03.2010} & 5999 \\ \hline 9 & \text{25.05.2010} & 5943 \\ \hline 10 & \text{23.06.2010} & 5914 \\ \hline 11 & \text{16.07.2010} & 5891 \\ \hline \end{array}\]

Упорядоченный по возрастанию ряд возрастов: \(5891;\ 5914;\ 5943;\ 5999;\ 6053;\ 6069;\ 6107;\ 6107;\ 6132;\ 6177;\ 6202\).

В ячейку D1 вписываем `=МОДА(B1:B11)`. Дважды повторяется только число 6107 (двое учеников родились 12 декабря 2009 г.), поэтому мода равна 6107 дней.

В ячейку D2 вписываем `=СРЗНАЧ(B1:B11)`. Сумма всех одиннадцати возрастов равна 66 594 дня, значит, среднее арифметическое равно \(\bar{x} = 66\,594 : 11 = 6054\) (дня).

В ячейку D3 вписываем `=МЕДИАНА(B1:B11)`. Чисел одиннадцать, число нечётное, поэтому медиана — шестое число упорядоченного ряда, то есть 6069 дней.

В ячейку D4 вписываем `=МАКС(B1:B11)-МИН(B1:B11)` — размах равен \(6202 - 5891 = 311\) (дней).

Межквартильный размах показывает, в какой промежуток укладывается средняя половина класса. Нижний квартиль — это медиана младшей половины ряда, верхний квартиль — медиана старшей половины, а межквартильный размах — их разность. Младшая половина (первые пять чисел ряда) — \(5891;\ 5914;\ 5943;\ 5999;\ 6053\), её медиана равна 5943. Старшая половина (последние пять чисел) — \(6107;\ 6107;\ 6132;\ 6177;\ 6202\), её медиана равна 6132. Значит, межквартильный размах равен \(6132 - 5943 = 189\) (дней). Если выписать возрасты в столбец C по возрастанию, оба квартиля считаются формулами `=МЕДИАНА(C1:C5)` и `=МЕДИАНА(C7:C11)`.

Анализ полученных данных. Средний возраст 6054 дня — это \(6054 : 365 \approx 16{,}6\) (года), около 16 лет и 7 месяцев, что для десятого класса естественно. Медиана 6069 дней отличается от среднего всего на 15 дней: старших и младших в классе примерно поровну, резко выделяющихся по возрасту учеников нет. Мода 6107 дней появилась только потому, что двое родились в один и тот же день; для возраста, измеренного в днях, мода почти всегда случайна и о классе ничего не говорит. Размах 311 дней — чуть больше десяти месяцев: даже самый старший и самый младший ученики различаются меньше чем на год. Межквартильный размах 189 дней — примерно полгода, он в полтора с лишним раза меньше размаха, значит, середина класса собрана плотно, а крайние возрасты заметно отходят от неё. Наконец, функция `СЕГОДНЯ()` каждый день увеличивает все возрасты ровно на единицу, поэтому мода, среднее арифметическое и медиана со временем растут, а размах и межквартильный размах остаются неизменными: разности между учениками от даты расчёта не зависят.

Ответ: задание 1 — мода 4, среднее арифметическое \(4{,}1\), медиана 4, размах 2 балла, дисперсия \(0{,}49\), стандартное отклонение \(0{,}7\) балла, итоговая отметка — 4; задание 2 — мода 6107 дней, среднее арифметическое 6054 дня (около 16 лет 7 месяцев), медиана 6069 дней, размах 311 дней, межквартильный размах 189 дней, то есть класс по возрасту однороден и средняя его половина укладывается примерно в полгода.