Страница 46 номер 65, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Числовой набор содержит пять чисел:
\[1,\ 2,\ 3,\ 4,\ x.\]
Найдите для этого ряда дисперсию и стандартное отклонение, выразив их через \(x\). Нарисуйте графики этих зависимостей. При каком значении \(x\) они достигают минимума?
В наборе пять чисел: \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ x\).
\[\overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + x}{5} = \frac{10 + x}{5}.\]
\[\overline{x^2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + x^2}{5} = \frac{30 + x^2}{5}.\]
\[\begin{aligned} &S^2 = \frac{30 + x^2}{5} - \left(\frac{10 + x}{5}\right)^2 = {} \\ &= \frac{150 + 5x^2 - (10 + x)^2}{25} = \frac{4x^2 - 20x + 50}{25}. \end{aligned}\]
\[S = \frac{\sqrt{4x^2 - 20x + 50}}{5}.\]
В числителе дисперсии квадратный трёхчлен \(4x^2 - 20x + 50\) с положительным старшим коэффициентом, поэтому наименьшее значение он принимает в вершине параболы:
\[x_0 = \frac{20}{2 \cdot 4} = 2{,}5.\]
\[S^2 = \frac{4 \cdot 2{,}5^2 - 20 \cdot 2{,}5 + 50}{25} = \frac{25 - 50 + 50}{25} = 1.\]
Корень тем больше, чем больше подкоренное выражение, поэтому наименьшее \(S\) достигается при том же \(x = 2{,}5\) и равно \(\sqrt{1} = 1\).
Ответ: \(S^2 = \frac{4x^2 - 20x + 50}{25}\) и \(S = \frac{\sqrt{4x^2 - 20x + 50}}{5}\); обе величины принимают наименьшее значение при \(x = 2{,}5\), причём наименьшая дисперсия равна 1 и наименьшее стандартное отклонение тоже равно 1.
Числовой набор содержит пять чисел:
\[1,\ 2,\ 3,\ 4,\ x.\]
Найдите для этого ряда дисперсию и стандартное отклонение, выразив их через \(x\). Нарисуйте графики этих зависимостей. При каком значении \(x\) они достигают минимума?
В наборе пять чисел: \(1;\ 2;\ 3;\ 4;\ x\). Среднее арифметическое:
\[\overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + x}{5} = \frac{10 + x}{5}.\]
Среднее арифметическое квадратов:
\[\overline{x^2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + x^2}{5} = \frac{30 + x^2}{5}.\]
Дисперсию найдём как разность среднего квадрата и квадрата среднего:
\[\begin{aligned} &S^2 = \frac{30 + x^2}{5} - \left(\frac{10 + x}{5}\right)^2 = {} \\ &= \frac{150 + 5x^2 - (10 + x)^2}{25} = \frac{4x^2 - 20x + 50}{25}. \end{aligned}\]
Стандартное отклонение — корень из дисперсии:
\[S = \frac{\sqrt{4x^2 - 20x + 50}}{5}.\]
В числителе дисперсии стоит квадратный трёхчлен \(4x^2 - 20x + 50\) с положительным старшим коэффициентом, его график — парабола ветвями вверх. Наименьшее значение трёхчлен принимает в вершине параболы, при
\[x_0 = \frac{20}{2 \cdot 4} = 2{,}5.\]
Наименьшее значение дисперсии равно
\[S^2 = \frac{4 \cdot 2{,}5^2 - 20 \cdot 2{,}5 + 50}{25} = \frac{25 - 50 + 50}{25} = 1.\]
Стандартное отклонение — возрастающая функция от дисперсии (корень тем больше, чем больше подкоренное выражение), поэтому наименьшее значение \(S\) достигается при том же \(x = 2{,}5\) и равно \(S = \sqrt{1} = 1\).
Ответ: \(S^2 = \frac{4x^2 - 20x + 50}{25}\) и \(S = \frac{\sqrt{4x^2 - 20x + 50}}{5}\); обе величины принимают наименьшее значение при \(x = 2{,}5\), причём наименьшая дисперсия равна 1 и наименьшее стандартное отклонение тоже равно 1.
