Страница 46 номер 64, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
В наборе десять чисел: девять нулей и \(x\).
\[\overline{x} = \frac{0 \cdot 9 + x}{10} = \frac{x}{10} = 0{,}1x.\]
Отклонение каждого из девяти нулей равно \(0 - 0{,}1x = -0{,}1x\), отклонение числа \(x\) равно \(x - 0{,}1x = 0{,}9x\).
\[\begin{aligned} &S^2 = \frac{9 \cdot (0{,}1x)^2 + (0{,}9x)^2}{10} = {} \\ &= \frac{0{,}09x^2 + 0{,}81x^2}{10} = \frac{0{,}9x^2}{10} = \frac{9x^2}{100}. \end{aligned}\]
Стандартное отклонение — корень из дисперсии. Под корнем полный квадрат, но \(x\) может быть и отрицательным, а стандартное отклонение отрицательным не бывает, поэтому нужен модуль:
\[S = \sqrt{\frac{9x^2}{100}} = \frac{3|x|}{10} = 0{,}3|x|.\]
График \(S^2 = 0{,}09x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, график \(S = 0{,}3|x|\) — две полупрямые, выходящие из начала координат:
Обе величины неотрицательны и обращаются в нуль только при \(x = 0\): тогда все десять чисел нули и разброса нет вовсе. Значит, наименьшее значение и дисперсии, и стандартного отклонения достигается при \(x = 0\) и равно 0.
Ответ: \(S^2 = \frac{9x^2}{100} = 0{,}09x^2\) и \(S = \frac{3|x|}{10} = 0{,}3|x|\); обе величины принимают наименьшее значение, равное нулю, при \(x = 0\).
В наборе десять чисел: девять нулей и число \(x\). Среднее арифметическое:
\[\overline{x} = \frac{0 \cdot 9 + x}{10} = \frac{x}{10} = 0{,}1x.\]
Отклонение каждого из девяти нулей от среднего равно \(0 - 0{,}1x = -0{,}1x\), а отклонение числа \(x\) равно \(x - 0{,}1x = 0{,}9x\). Дисперсия:
\[\begin{aligned} &S^2 = \frac{9 \cdot (0{,}1x)^2 + (0{,}9x)^2}{10} = {} \\ &= \frac{0{,}09x^2 + 0{,}81x^2}{10} = \frac{0{,}9x^2}{10} = \frac{9x^2}{100}. \end{aligned}\]
Стандартное отклонение — корень из дисперсии. Под корнем стоит полный квадрат, но само \(x\) может быть и отрицательным, а стандартное отклонение отрицательным не бывает, поэтому нужен модуль:
\[S = \sqrt{\frac{9x^2}{100}} = \frac{3|x|}{10} = 0{,}3|x|.\]
График зависимости \(S^2 = 0{,}09x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, а график зависимости \(S = 0{,}3|x|\) — две полупрямые, выходящие из начала координат:
Обе величины неотрицательны и обращаются в нуль только при \(x = 0\): тогда набор состоит из десяти нулей, все числа одинаковы и разброса нет вовсе. Значит, наименьшее значение и дисперсии, и стандартного отклонения достигается при \(x = 0\) и равно 0.
Ответ: \(S^2 = \frac{9x^2}{100} = 0{,}09x^2\) и \(S = \frac{3|x|}{10} = 0{,}3|x|\); обе величины принимают наименьшее значение, равное нулю, при \(x = 0\).
