Страница 46 номер 63, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Докажите, что дисперсия числового набора может быть вычислена по формуле
\[S^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2,\]
где \(\overline{x}\) — среднее арифметическое всех заданных чисел, а \(\overline{x^2}\) — среднее арифметическое квадратов этих чисел.
Пусть набор \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) имеет среднее \(\overline{x}\). По определению дисперсии
\[S^2 = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n}.\]
Раскроем каждый квадрат по формуле \((x_i - \overline{x})^2 = x_i^2 - 2\overline{x}x_i + (\overline{x})^2\) и сложим:
\[\begin{aligned} &(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2 = {} \\ &= (x_1^2 + \ldots + x_n^2) - 2\overline{x}(x_1 + \ldots + x_n) + n(\overline{x})^2. \end{aligned}\]
Так как \(x_1 + x_2 + \ldots + x_n = n\overline{x}\), средний член равен \(-2\overline{x} \cdot n\overline{x} = -2n(\overline{x})^2\), и вся сумма равна
\[(x_1^2 + \ldots + x_n^2) - 2n(\overline{x})^2 + n(\overline{x})^2 = (x_1^2 + \ldots + x_n^2) - n(\overline{x})^2.\]
Разделим на \(n\):
\[S^2 = \frac{x_1^2 + \ldots + x_n^2}{n} - (\overline{x})^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2.\]
Формула доказана.
Ответ: после раскрытия квадратов отклонений и замены суммы \(x_1 + \ldots + x_n\) на \(n\overline{x}\) определение дисперсии превращается в формулу \(S^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2\).
Докажите, что дисперсия числового набора может быть вычислена по формуле
\[S^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2,\]
где \(\overline{x}\) — среднее арифметическое всех заданных чисел, а \(\overline{x^2}\) — среднее арифметическое квадратов этих чисел.
Пусть дан набор чисел \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) со средним арифметическим \(\overline{x}\). По определению дисперсии
\[S^2 = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n}.\]
Раскроем каждый квадрат по формуле квадрата разности: \((x_i - \overline{x})^2 = x_i^2 - 2\overline{x}x_i + (\overline{x})^2\). Сложим все такие выражения. Слагаемые с квадратами дадут \(x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2\), слагаемое \((\overline{x})^2\) повторится \(n\) раз, а из средних членов вынесем общий множитель \(-2\overline{x}\):
\[\begin{aligned} &(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2 = {} \\ &= (x_1^2 + \ldots + x_n^2) - 2\overline{x}(x_1 + \ldots + x_n) + n(\overline{x})^2. \end{aligned}\]
По определению среднего арифметического \(x_1 + x_2 + \ldots + x_n = n\overline{x}\), поэтому средний член равен \(-2\overline{x} \cdot n\overline{x} = -2n(\overline{x})^2\), и вся сумма равна
\[(x_1^2 + \ldots + x_n^2) - 2n(\overline{x})^2 + n(\overline{x})^2 = (x_1^2 + \ldots + x_n^2) - n(\overline{x})^2.\]
Осталось разделить обе части на \(n\):
\[S^2 = \frac{x_1^2 + \ldots + x_n^2}{n} - (\overline{x})^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2.\]
Формула доказана.
Ответ: после раскрытия квадратов отклонений и замены суммы \(x_1 + \ldots + x_n\) на \(n\overline{x}\) определение дисперсии превращается в формулу \(S^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2\).
