Страница 45 номер 60, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Докажите, что если каждое число в заданном наборе умножить на одну и ту же константу, то дисперсия умножится на квадрат этой константы.
Пусть каждое число набора \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) со средним \(\overline{x}\) и дисперсией \(S^2\) умножили на \(k\). Среднее нового набора:
\[\begin{aligned} &\overline{y} = \frac{kx_1 + kx_2 + \ldots + kx_n}{n} = {} \\ &= k \cdot \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = k\overline{x}. \end{aligned}\]
Отклонение каждого числа от нового среднего равно \(kx_i - k\overline{x} = k(x_i - \overline{x})\), а его квадрат равен \(k^2(x_i - \overline{x})^2\). Дисперсия нового набора:
\[\begin{aligned} &S_1^2 = \frac{k^2(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + k^2(x_n - \overline{x})^2}{n} = {} \\ &= k^2 \cdot \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n} = k^2 S^2. \end{aligned}\]
Дисперсия умножилась на \(k^2\), что и требовалось доказать.
Ответ: при умножении каждого числа набора на константу \(k\) все отклонения от среднего умножаются на \(k\), их квадраты — на \(k^2\), поэтому и дисперсия умножается на \(k^2\).
Докажите, что если каждое число в заданном наборе умножить на одну и ту же константу, то дисперсия умножится на квадрат этой константы.
Пусть дан набор чисел \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) со средним арифметическим \(\overline{x}\) и дисперсией \(S^2\), и каждое число умножили на одно и то же число \(k\). Получился набор \(kx_1;\ kx_2;\ \ldots;\ kx_n\). Найдём его среднее арифметическое:
\[\begin{aligned} &\overline{y} = \frac{kx_1 + kx_2 + \ldots + kx_n}{n} = {} \\ &= k \cdot \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = k\overline{x}. \end{aligned}\]
Отклонение каждого числа нового набора от нового среднего равно \(kx_i - k\overline{x} = k(x_i - \overline{x})\), а квадрат этого отклонения равен \(k^2(x_i - \overline{x})^2\). Обозначим дисперсию нового набора через \(S_1^2\):
\[\begin{aligned} &S_1^2 = \frac{k^2(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + k^2(x_n - \overline{x})^2}{n} = {} \\ &= k^2 \cdot \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n} = k^2 S^2. \end{aligned}\]
Дисперсия умножилась на \(k^2\), что и требовалось доказать.
Ответ: при умножении каждого числа набора на константу \(k\) все отклонения от среднего умножаются на \(k\), их квадраты — на \(k^2\), поэтому и дисперсия умножается на \(k^2\).
