Страница 45 номер 59, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Докажите, что если каждое число в заданном наборе увеличить на одну и ту же константу, то дисперсия не изменится.
Пусть каждое число набора \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) со средним \(\overline{x}\) увеличили на \(c\). Среднее нового набора:
\[\begin{aligned} &\overline{y} = \frac{(x_1 + c) + (x_2 + c) + \ldots + (x_n + c)}{n} = {} \\ &= \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + nc}{n} = \overline{x} + c. \end{aligned}\]
Отклонение каждого числа нового набора от нового среднего:
\[(x_i + c) - (\overline{x} + c) = x_i - \overline{x}.\]
Отклонения совпали с отклонениями исходного набора, значит, совпадают и их квадраты, и среднее арифметическое этих квадратов: дисперсия нового набора равна дисперсии исходного, что и требовалось доказать.
Ответ: при увеличении каждого числа набора на одну и ту же константу среднее арифметическое увеличивается на эту же константу, поэтому все отклонения от среднего сохраняются и дисперсия не изменяется.
Докажите, что если каждое число в заданном наборе увеличить на одну и ту же константу, то дисперсия не изменится.
Пусть дан набор чисел \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) со средним арифметическим \(\overline{x}\), и каждое число увеличили на одно и то же число \(c\). Получился набор \(x_1 + c;\ x_2 + c;\ \ldots;\ x_n + c\). Найдём его среднее арифметическое:
\[\begin{aligned} &\overline{y} = \frac{(x_1 + c) + (x_2 + c) + \ldots + (x_n + c)}{n} = {} \\ &= \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) + nc}{n} = \overline{x} + c. \end{aligned}\]
Значит, среднее арифметическое увеличилось на ту же константу \(c\).
Найдём теперь отклонение каждого числа нового набора от нового среднего:
\[(x_i + c) - (\overline{x} + c) = x_i - \overline{x}.\]
Отклонения нового набора совпали с отклонениями исходного. Тогда совпадают и квадраты отклонений, и среднее арифметическое этих квадратов, то есть дисперсия нового набора равна дисперсии исходного, что и требовалось доказать.
Ответ: при увеличении каждого числа набора на одну и ту же константу среднее арифметическое увеличивается на эту же константу, поэтому все отклонения от среднего сохраняются и дисперсия не изменяется.
