Страница 45 номер 58, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
а) Пусть зарплаты были числами \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) со средним \(\overline{x}\), а стали \(x_i + 1000\).
Сумма выросла на \(1000n\) рублей, поэтому среднее выросло на 1000 р.: новое среднее равно \(\overline{x} + 1000\).
Наибольшая и наименьшая зарплаты выросли на одну и ту же тысячу, поэтому их разность не изменилась — размах прежний.
Отклонение каждой зарплаты от среднего тоже не изменилось: \((x_i + 1000) - (\overline{x} + 1000) = x_i - \overline{x}\), значит, дисперсия и стандартное отклонение прежние.
б) Теперь каждая зарплата равна \(10x_i\). Сумма выросла в 10 раз, поэтому новое среднее равно \(10\overline{x}\); наибольшая и наименьшая зарплаты тоже выросли в 10 раз, поэтому размах вырос в 10 раз.
Каждое отклонение стало равно \(10x_i - 10\overline{x} = 10(x_i - \overline{x})\), то есть выросло в 10 раз, а его квадрат — в 100 раз, значит, дисперсия увеличилась в 100 раз. Стандартное отклонение — корень из дисперсии, поэтому оно выросло в \(\sqrt{100} = 10\) раз.
Ответ: а) средняя зарплата увеличилась на 1000 р., а размах, дисперсия и стандартное отклонение не изменились; б) средняя зарплата и размах увеличились в 10 раз, дисперсия — в 100 раз, стандартное отклонение — в 10 раз.
а) Пусть до повышения зарплаты сотрудников были числами \(x_1;\ x_2;\ \ldots;\ x_n\) со средним арифметическим \(\overline{x}\). После повышения каждая зарплата стала равна \(x_i + 1000\).
Сумма всех зарплат выросла на \(1000n\) рублей, а после деления на \(n\) среднее выросло на 1000 р.: новое среднее равно \(\overline{x} + 1000\).
Наибольшая и наименьшая зарплаты выросли на одну и ту же тысячу, поэтому их разность не изменилась — размах остался прежним.
Отклонение каждой зарплаты от среднего тоже не изменилось: \((x_i + 1000) - (\overline{x} + 1000) = x_i - \overline{x}\). Значит, не изменились ни квадраты отклонений, ни их среднее арифметическое: дисперсия и стандартное отклонение прежние.
б) Теперь каждая зарплата стала равна \(10x_i\). Сумма выросла в 10 раз, поэтому и среднее выросло в 10 раз: новое среднее равно \(10\overline{x}\). Наибольшая и наименьшая зарплаты тоже выросли в 10 раз, поэтому размах вырос в 10 раз.
Каждое отклонение от среднего стало равно \(10x_i - 10\overline{x} = 10(x_i - \overline{x})\), то есть выросло в 10 раз, а квадрат отклонения — в 100 раз. Среднее арифметическое квадратов отклонений тоже выросло в 100 раз, значит, дисперсия увеличилась в 100 раз. Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии, поэтому оно выросло в \(\sqrt{100} = 10\) раз.
Ответ: а) средняя зарплата увеличилась на 1000 р., а размах, дисперсия и стандартное отклонение не изменились; б) средняя зарплата и размах увеличились в 10 раз, дисперсия — в 100 раз, стандартное отклонение — в 10 раз.
