Страница 45 номер 56, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Рост задан промежутками, поэтому каждый промежуток заменяем его серединой, а число участников в нём оставляем прежним:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Середина промежутка} & 162{,}5 & 167{,}5 & 172{,}5 & 177{,}5 & 182{,}5 & 187{,}5 & 192{,}5 \\ \hline \text{Число участников} & 5 & 12 & 19 & 25 & 10 & 7 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Середины — в столбец A электронной таблицы, числа участников — в столбец B; общее число участников даёт формула `=СУММ(B1:B7)`: \(5 + 12 + 19 + 25 + 10 + 7 + 2 = 80\).
Сумма ростов:
\[\begin{aligned} &162{,}5 \cdot 5 + 167{,}5 \cdot 12 + 172{,}5 \cdot 19 + 177{,}5 \cdot 25 = {} \\ &= 812{,}5 + 2010 + 3277{,}5 + 4437{,}5 = 10\,537{,}5; \\ &182{,}5 \cdot 10 + 187{,}5 \cdot 7 + 192{,}5 \cdot 2 = 1825 + 1312{,}5 + 385 = 3522{,}5. \end{aligned}\]
Средний рост \(\overline{x} = \frac{10\,537{,}5 + 3522{,}5}{80} = \frac{14\,060}{80} = 175{,}75\) (см).
Отклонения середин от среднего и их квадраты:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 162{,}5 & 167{,}5 & 172{,}5 & 177{,}5 & 182{,}5 & 187{,}5 & 192{,}5 \\ \hline x - \overline{x} & -13{,}25 & -8{,}25 & -3{,}25 & 1{,}75 & 6{,}75 & 11{,}75 & 16{,}75 \\ \hline (x - \overline{x})^2 & 175{,}5625 & 68{,}0625 & 10{,}5625 & 3{,}0625 & 45{,}5625 & 138{,}0625 & 280{,}5625 \\ \hline \end{array}\]
Сумма квадратов отклонений с учётом числа участников:
\[\begin{aligned} &175{,}5625 \cdot 5 + 68{,}0625 \cdot 12 + 10{,}5625 \cdot 19 + 3{,}0625 \cdot 25 = {} \\ &= 877{,}8125 + 816{,}75 + 200{,}6875 + 76{,}5625 = 1971{,}8125; \\ &45{,}5625 \cdot 10 + 138{,}0625 \cdot 7 + 280{,}5625 \cdot 2 = {} \\ &= 455{,}625 + 966{,}4375 + 561{,}125 = 1983{,}1875. \end{aligned}\]
Дисперсия \(S^2 = \frac{1971{,}8125 + 1983{,}1875}{80} = \frac{3955}{80} = 49{,}4375\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{49{,}4375} \approx 7{,}03\) (см).
а) \([\overline{x} - S;\ \overline{x} + S] \approx [168{,}72;\ 182{,}78]\): середина \(167{,}5\) меньше левой границы, \(187{,}5\) больше правой, а \(182{,}5\) ещё меньше, чем \(182{,}78\). Попадают три средние группы: \(19 + 25 + 10 = 54\) человека, их доля \(\frac{54}{80} = 0{,}675\), то есть 67,5 %.
б) \(2S \approx 14{,}06\), промежуток \([\overline{x} - 2S;\ \overline{x} + 2S] \approx [161{,}69;\ 189{,}81]\): вне его только два участника ростом около \(192{,}5\) см, остальных \(80 - 2 = 78\) человек, их доля \(\frac{78}{80} = 0{,}975\), то есть 97,5 %.
в) \(3S \approx 21{,}09\), промежуток \([\overline{x} - 3S;\ \overline{x} + 3S] \approx [154{,}66;\ 196{,}84]\): в него попадают все семь середин, то есть все 80 участников — 100 %.
Расчёт подтверждает общее правило: в промежуток шириной в одно стандартное отклонение в каждую сторону от среднего попадает больше половины значений, а в промежуток шириной в три стандартных отклонения — практически все.
Ответ: а) 67,5 % участников; б) 97,5 % участников; в) 100 % участников.
Точный рост участников неизвестен: он задан промежутками. Со сгруппированными данными поступают так — каждый промежуток заменяют его серединой, а число участников в нём остаётся прежним. Середины промежутков \([160;\ 165)\), \([165;\ 170)\) и остальных равны \(162{,}5\); \(167{,}5\); \(172{,}5\); \(177{,}5\); \(182{,}5\); \(187{,}5\) и \(192{,}5\) см:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Середина промежутка} & 162{,}5 & 167{,}5 & 172{,}5 & 177{,}5 & 182{,}5 & 187{,}5 & 192{,}5 \\ \hline \text{Число участников} & 5 & 12 & 19 & 25 & 10 & 7 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Середины занесём в столбец A электронной таблицы, числа участников — в столбец B. Общее число участников даёт формула `=СУММ(B1:B7)`: \(5 + 12 + 19 + 25 + 10 + 7 + 2 = 80\).
Сумма ростов всех участников:
\[\begin{aligned} &162{,}5 \cdot 5 + 167{,}5 \cdot 12 + 172{,}5 \cdot 19 + 177{,}5 \cdot 25 = {} \\ &= 812{,}5 + 2010 + 3277{,}5 + 4437{,}5 = 10\,537{,}5; \\ &182{,}5 \cdot 10 + 187{,}5 \cdot 7 + 192{,}5 \cdot 2 = 1825 + 1312{,}5 + 385 = 3522{,}5. \end{aligned}\]
Средний рост \(\overline{x} = \frac{10\,537{,}5 + 3522{,}5}{80} = \frac{14\,060}{80} = 175{,}75\) (см).
Отклонения середин промежутков от среднего роста и их квадраты:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 162{,}5 & 167{,}5 & 172{,}5 & 177{,}5 & 182{,}5 & 187{,}5 & 192{,}5 \\ \hline x - \overline{x} & -13{,}25 & -8{,}25 & -3{,}25 & 1{,}75 & 6{,}75 & 11{,}75 & 16{,}75 \\ \hline (x - \overline{x})^2 & 175{,}5625 & 68{,}0625 & 10{,}5625 & 3{,}0625 & 45{,}5625 & 138{,}0625 & 280{,}5625 \\ \hline \end{array}\]
Сумма квадратов отклонений с учётом числа участников в каждом промежутке:
\[\begin{aligned} &175{,}5625 \cdot 5 + 68{,}0625 \cdot 12 + 10{,}5625 \cdot 19 + 3{,}0625 \cdot 25 = {} \\ &= 877{,}8125 + 816{,}75 + 200{,}6875 + 76{,}5625 = 1971{,}8125; \\ &45{,}5625 \cdot 10 + 138{,}0625 \cdot 7 + 280{,}5625 \cdot 2 = {} \\ &= 455{,}625 + 966{,}4375 + 561{,}125 = 1983{,}1875. \end{aligned}\]
Дисперсия \(S^2 = \frac{1971{,}8125 + 1983{,}1875}{80} = \frac{3955}{80} = 49{,}4375\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{49{,}4375} \approx 7{,}03\) (см).
а) Промежуток \([\overline{x} - S;\ \overline{x} + S] \approx [168{,}72;\ 182{,}78]\). Середина \(167{,}5\) меньше левой границы, а середина \(187{,}5\) больше правой, зато \(182{,}5\) ещё меньше, чем \(182{,}78\). Значит, в промежуток попадают участники трёх средних групп: \(19 + 25 + 10 = 54\) человека. Их доля \(\frac{54}{80} = 0{,}675\), то есть 67,5 %.
б) Здесь \(2S \approx 14{,}06\), промежуток \([\overline{x} - 2S;\ \overline{x} + 2S] \approx [161{,}69;\ 189{,}81]\). Вне его остаются только два участника ростом около \(192{,}5\) см, остальных \(80 - 2 = 78\) человек. Их доля \(\frac{78}{80} = 0{,}975\), то есть 97,5 %.
в) Здесь \(3S \approx 21{,}09\), промежуток \([\overline{x} - 3S;\ \overline{x} + 3S] \approx [154{,}66;\ 196{,}84]\). В него попадают все семь середин, то есть все 80 участников — 100 %.
Расчёт подтверждает общее правило: в промежуток шириной в одно стандартное отклонение в каждую сторону от среднего попадает больше половины значений, а в промежуток шириной в три стандартных отклонения — практически все.
Ответ: а) 67,5 % участников; б) 97,5 % участников; в) 100 % участников.
