Страница 44 номер 53, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Всего в хоре \(3 + 6 + 5 + 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 25\) участников.
Сумма возрастов:
\[7 \cdot 3 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 1 + 11 \cdot 2 + 12 \cdot 3 + 13 \cdot 2 + 14 \cdot 2 + 15 \cdot 1 = 251.\]
Средний возраст \(\overline{x} = \frac{251}{25} = 10{,}04\) (года).
Сумма квадратов возрастов:
\[49 \cdot 3 + 64 \cdot 6 + 81 \cdot 5 + 100 \cdot 1 + 121 \cdot 2 + 144 \cdot 3 + 169 \cdot 2 + 196 \cdot 2 + 225 \cdot 1 = 2665.\]
Средний квадрат \(\overline{x^2} = \frac{2665}{25} = 106{,}6\), дисперсия \(S^2 = 106{,}6 - 10{,}04^2 = 106{,}6 - 100{,}8016 = 5{,}7984\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{5{,}7984} \approx 2{,}41\) (года).
Отклонения возрастов от среднего:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Возраст} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline |x - \overline{x}| & 3{,}04 & 2{,}04 & 1{,}04 & 0{,}04 & 0{,}96 & 1{,}96 & 2{,}96 & 3{,}96 & 4{,}96 \\ \hline \text{Число участников} & 3 & 6 & 5 & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Больше \(2{,}41\) оказались отклонения \(3{,}04\); \(2{,}96\); \(3{,}96\) и \(4{,}96\) — это участники 7, 13, 14 и 15 лет, их \(3 + 2 + 2 + 1 = 8\) человек. Восьмилетние с отклонением \(2{,}04\) в промежуток \([\overline{x} - S;\ \overline{x} + S]\) попадают.
Доля участников, чей возраст отклоняется от среднего больше чем на стандартное отклонение, равна \(\frac{8}{25} = 0{,}32\), то есть 32 %.
Ответ: возраст 8 участников из 25 отклоняется от среднего больше чем на стандартное отклонение, это 32 % участников хора.
Всего в хоре \(3 + 6 + 5 + 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 25\) участников.
Сумма возрастов всех участников:
\[7 \cdot 3 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 5 + 10 \cdot 1 + 11 \cdot 2 + 12 \cdot 3 + 13 \cdot 2 + 14 \cdot 2 + 15 \cdot 1 = 251.\]
Средний возраст \(\overline{x} = \frac{251}{25} = 10{,}04\) (года).
Сумма квадратов возрастов:
\[49 \cdot 3 + 64 \cdot 6 + 81 \cdot 5 + 100 \cdot 1 + 121 \cdot 2 + 144 \cdot 3 + 169 \cdot 2 + 196 \cdot 2 + 225 \cdot 1 = 2665.\]
Средний квадрат возраста \(\overline{x^2} = \frac{2665}{25} = 106{,}6\), дисперсия \(S^2 = 106{,}6 - 10{,}04^2 = 106{,}6 - 100{,}8016 = 5{,}7984\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{5{,}7984} \approx 2{,}41\) (года).
Найдём, насколько каждый возраст отклоняется от среднего:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Возраст} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \hline |x - \overline{x}| & 3{,}04 & 2{,}04 & 1{,}04 & 0{,}04 & 0{,}96 & 1{,}96 & 2{,}96 & 3{,}96 & 4{,}96 \\ \hline \text{Число участников} & 3 & 6 & 5 & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Больше стандартного отклонения \(2{,}41\) оказались отклонения \(3{,}04\); \(2{,}96\); \(3{,}96\) и \(4{,}96\) — это участники в возрасте 7, 13, 14 и 15 лет, их \(3 + 2 + 2 + 1 = 8\) человек. Ближе всего к границе восьмилетние: их отклонение \(2{,}04\) меньше \(2{,}41\), поэтому они в промежуток \([\overline{x} - S;\ \overline{x} + S]\) попадают.
Доля участников, чей возраст отклоняется от среднего больше чем на стандартное отклонение, равна \(\frac{8}{25} = 0{,}32\), то есть 32 %.
Ответ: возраст 8 участников из 25 отклоняется от среднего больше чем на стандартное отклонение, это 32 % участников хора.
