Страница 44 номер 52, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Чем меньше дисперсия и стандартное отклонение отметок, тем стабильнее класс. Отметки заданы частотами, поэтому среднее и средний квадрат считаем через частоты, а сумму частот в каждой строке проверяем.
10 «А». Сумма частот \(0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}1 = 1\).
\[\overline{x} = 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}1 = 3{,}6;\]
\[\overline{x^2} = 4 \cdot 0{,}1 + 9 \cdot 0{,}3 + 16 \cdot 0{,}5 + 25 \cdot 0{,}1 = 13{,}6.\]
\(S^2 = 13{,}6 - 3{,}6^2 = 13{,}6 - 12{,}96 = 0{,}64\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).
10 «Б». Общий знаменатель 28: \(\frac{1}{14} = \frac{2}{28}\), \(\frac{2}{7} = \frac{8}{28}\), \(\frac{1}{4} = \frac{7}{28}\), \(\frac{11}{28}\); сумма \(\frac{2 + 8 + 7 + 11}{28} = 1\).
\[\overline{x} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 11}{28} = \frac{111}{28} \approx 3{,}96;\]
\[\overline{x^2} = \frac{4 \cdot 2 + 9 \cdot 8 + 16 \cdot 7 + 25 \cdot 11}{28} = \frac{467}{28}.\]
\[S^2 = \frac{467}{28} - \left(\frac{111}{28}\right)^2 = \frac{13\,076 - 12\,321}{784} = \frac{755}{784} \approx 0{,}96.\]
\(S \approx 0{,}98\).
10 «В». Общий знаменатель 12: \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\), \(\frac{5}{12}\), \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\), \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\); сумма \(\frac{2 + 5 + 3 + 2}{12} = 1\).
\[\overline{x} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2}{12} = \frac{41}{12} \approx 3{,}42;\]
\[\overline{x^2} = \frac{4 \cdot 2 + 9 \cdot 5 + 16 \cdot 3 + 25 \cdot 2}{12} = \frac{151}{12}.\]
\[S^2 = \frac{151}{12} - \left(\frac{41}{12}\right)^2 = \frac{1812 - 1681}{144} = \frac{131}{144} \approx 0{,}91.\]
\(S \approx 0{,}95\).
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Класс} & \overline{x} & S^2 & S \\ \hline \text{10 А} & 3{,}6 & 0{,}64 & 0{,}8 \\ \hline \text{10 Б} & \approx 3{,}96 & \approx 0{,}96 & \approx 0{,}98 \\ \hline \text{10 В} & \approx 3{,}42 & \approx 0{,}91 & \approx 0{,}95 \\ \hline \end{array}\]
Самая высокая средняя отметка у 10 «Б», но и разброс у него самый большой: почти 40 % класса учится на 5, зато больше трети получают 3 и 2. Наименьшая дисперсия у 10 «А»: его отметки теснее всего сгруппированы вокруг средней.
Ответ: стабильнее всех учится 10 «А» — у него самый маленький разброс отметок: \(S^2 = 0{,}64\) и \(S = 0{,}8\) (у 10 «Б» \(S^2 \approx 0{,}96\), у 10 «В» \(S^2 \approx 0{,}91\)).
Класс учится тем стабильнее, чем меньше разброс его отметок, то есть чем меньше дисперсия и стандартное отклонение. Поэтому для каждого класса найдём среднюю отметку и дисперсию. Отметки заданы частотами, поэтому среднее арифметическое и средний квадрат считаем через частоты, а сумму частот в каждой строке проверяем: она должна быть равна 1.
10 «А». Сумма частот \(0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}1 = 1\). Средняя отметка и средний квадрат отметки:
\[\overline{x} = 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}1 = 3{,}6;\]
\[\overline{x^2} = 4 \cdot 0{,}1 + 9 \cdot 0{,}3 + 16 \cdot 0{,}5 + 25 \cdot 0{,}1 = 13{,}6.\]
Дисперсия \(S^2 = 13{,}6 - 3{,}6^2 = 13{,}6 - 12{,}96 = 0{,}64\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8\).
10 «Б». Приведём частоты к общему знаменателю 28: \(\frac{1}{14} = \frac{2}{28}\), \(\frac{2}{7} = \frac{8}{28}\), \(\frac{1}{4} = \frac{7}{28}\), последняя частота \(\frac{11}{28}\). Их сумма \(\frac{2 + 8 + 7 + 11}{28} = 1\). Тогда
\[\overline{x} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 11}{28} = \frac{111}{28} \approx 3{,}96;\]
\[\overline{x^2} = \frac{4 \cdot 2 + 9 \cdot 8 + 16 \cdot 7 + 25 \cdot 11}{28} = \frac{467}{28}.\]
Дисперсия:
\[S^2 = \frac{467}{28} - \left(\frac{111}{28}\right)^2 = \frac{13\,076 - 12\,321}{784} = \frac{755}{784} \approx 0{,}96.\]
Стандартное отклонение \(S \approx 0{,}98\).
10 «В». Приведём частоты к общему знаменателю 12: \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\), \(\frac{5}{12}\), \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\), \(\frac{1}{6} = \frac{2}{12}\). Их сумма \(\frac{2 + 5 + 3 + 2}{12} = 1\). Тогда
\[\overline{x} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2}{12} = \frac{41}{12} \approx 3{,}42;\]
\[\overline{x^2} = \frac{4 \cdot 2 + 9 \cdot 5 + 16 \cdot 3 + 25 \cdot 2}{12} = \frac{151}{12}.\]
Дисперсия:
\[S^2 = \frac{151}{12} - \left(\frac{41}{12}\right)^2 = \frac{1812 - 1681}{144} = \frac{131}{144} \approx 0{,}91.\]
Стандартное отклонение \(S \approx 0{,}95\).
Соберём результаты вместе:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Класс} & \overline{x} & S^2 & S \\ \hline \text{10 А} & 3{,}6 & 0{,}64 & 0{,}8 \\ \hline \text{10 Б} & \approx 3{,}96 & \approx 0{,}96 & \approx 0{,}98 \\ \hline \text{10 В} & \approx 3{,}42 & \approx 0{,}91 & \approx 0{,}95 \\ \hline \end{array}\]
Самая высокая средняя отметка у 10 «Б», но и разброс отметок у него самый большой: почти 40 % класса учится на 5, зато больше трети получают 3 и 2. Наименьшая дисперсия у 10 «А»: его отметки теснее всего сгруппированы вокруг своей средней.
Ответ: стабильнее всех учится 10 «А» — у него самый маленький разброс отметок: \(S^2 = 0{,}64\) и \(S = 0{,}8\) (у 10 «Б» \(S^2 \approx 0{,}96\), у 10 «В» \(S^2 \approx 0{,}91\)).
