Страница 43 номер 49, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Для каждого из двух наборов чисел вычислите среднее арифметическое, дисперсию, стандартное отклонение и сравните их: а) 3, 7, 10, 11, 19 и 10, 11, 15, 17, 22; б) 1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10.
а) Первый набор — \(3;\ 7;\ 10;\ 11;\ 19\):
\[\overline{x} = \frac{3 + 7 + 10 + 11 + 19}{5} = \frac{50}{5} = 10.\]
Отклонения: \(-7;\ -3;\ 0;\ 1;\ 9\).
\[S^2 = \frac{49 + 9 + 0 + 1 + 81}{5} = \frac{140}{5} = 28.\]
Стандартное отклонение \(S = \sqrt{28} \approx 5{,}29\).
Второй набор — \(10;\ 11;\ 15;\ 17;\ 22\):
\[\overline{x} = \frac{10 + 11 + 15 + 17 + 22}{5} = \frac{75}{5} = 15.\]
Отклонения: \(-5;\ -4;\ 0;\ 2;\ 7\).
\[S^2 = \frac{25 + 16 + 0 + 4 + 49}{5} = \frac{94}{5} = 18{,}8.\]
\(S = \sqrt{18{,}8} \approx 4{,}34\).
Среднее второго набора больше (\(15 > 10\)), а дисперсия и стандартное отклонение меньше (\(18{,}8 < 28\) и \(4{,}34 < 5{,}29\)): его числа расположены к своему среднему теснее.
б) Первый набор — \(1;\ 3;\ 5;\ 7;\ 9\):
\[\overline{x} = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5.\]
Отклонения: \(-4;\ -2;\ 0;\ 2;\ 4\).
\[S^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8.\]
Стандартное отклонение \(S = \sqrt{8} \approx 2{,}83\).
Второй набор — \(2;\ 4;\ 6;\ 8;\ 10\):
\[\overline{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6.\]
Каждое его число на 1 больше соответствующего числа первого набора, поэтому отклонения те же: \(-4;\ -2;\ 0;\ 2;\ 4\), и \(S^2 = 8\), \(S = \sqrt{8} \approx 2{,}83\) — такие же, как у первого. Наборы разбросаны одинаково, но второй целиком сдвинут на единицу вправо.
Ответ: а) у первого набора \(\overline{x} = 10\), \(S^2 = 28\), \(S \approx 5{,}29\), у второго \(\overline{x} = 15\), \(S^2 = 18{,}8\), \(S \approx 4{,}34\) — второй набор в среднем больше и разбросан меньше; б) у первого набора \(\overline{x} = 5\), у второго \(\overline{x} = 6\), а дисперсия \(S^2 = 8\) и стандартное отклонение \(S \approx 2{,}83\) у них одинаковые.
Для каждого из двух наборов чисел вычислите среднее арифметическое, дисперсию, стандартное отклонение и сравните их: а) 3, 7, 10, 11, 19 и 10, 11, 15, 17, 22; б) 1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10.
а) Первый набор — \(3;\ 7;\ 10;\ 11;\ 19\):
\[\overline{x} = \frac{3 + 7 + 10 + 11 + 19}{5} = \frac{50}{5} = 10.\]
Отклонения от среднего равны \(-7;\ -3;\ 0;\ 1;\ 9\), поэтому
\[S^2 = \frac{49 + 9 + 0 + 1 + 81}{5} = \frac{140}{5} = 28.\]
Стандартное отклонение \(S = \sqrt{28} \approx 5{,}29\).
Второй набор — \(10;\ 11;\ 15;\ 17;\ 22\):
\[\overline{x} = \frac{10 + 11 + 15 + 17 + 22}{5} = \frac{75}{5} = 15.\]
Отклонения от среднего равны \(-5;\ -4;\ 0;\ 2;\ 7\), поэтому
\[S^2 = \frac{25 + 16 + 0 + 4 + 49}{5} = \frac{94}{5} = 18{,}8.\]
Стандартное отклонение \(S = \sqrt{18{,}8} \approx 4{,}34\).
Среднее арифметическое второго набора больше (\(15 > 10\)), а дисперсия и стандартное отклонение у него меньше (\(18{,}8 < 28\) и \(4{,}34 < 5{,}29\)): числа второго набора расположены к своему среднему теснее, чем числа первого.
б) Первый набор — \(1;\ 3;\ 5;\ 7;\ 9\):
\[\overline{x} = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5.\]
Отклонения равны \(-4;\ -2;\ 0;\ 2;\ 4\), поэтому
\[S^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8.\]
Стандартное отклонение \(S = \sqrt{8} \approx 2{,}83\).
Второй набор — \(2;\ 4;\ 6;\ 8;\ 10\):
\[\overline{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6.\]
Каждое число этого набора на 1 больше соответствующего числа первого, поэтому и среднее больше на 1, а отклонения от среднего те же самые: \(-4;\ -2;\ 0;\ 2;\ 4\). Значит, \(S^2 = 8\) и \(S = \sqrt{8} \approx 2{,}83\) — такие же, как у первого набора: наборы разбросаны одинаково, но второй целиком сдвинут на единицу вправо.
Ответ: а) у первого набора \(\overline{x} = 10\), \(S^2 = 28\), \(S \approx 5{,}29\), у второго \(\overline{x} = 15\), \(S^2 = 18{,}8\), \(S \approx 4{,}34\) — второй набор в среднем больше и разбросан меньше; б) у первого набора \(\overline{x} = 5\), у второго \(\overline{x} = 6\), а дисперсия \(S^2 = 8\) и стандартное отклонение \(S \approx 2{,}83\) у них одинаковые.
