Страница 43 номер 48, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Найдите размах, дисперсию и стандартное отклонение числового набора:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Для каких значений ряда отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения?
В наборе восемь чисел, наибольшее 8, наименьшее 1, размах равен \(8 - 1 = 7\).
\[\overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{36}{8} = 4{,}5.\]
\[\overline{x^2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64}{8} = \frac{204}{8} = 25{,}5.\]
Дисперсия \(S^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2 = 25{,}5 - 4{,}5^2 = 25{,}5 - 20{,}25 = 5{,}25\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{5{,}25} \approx 2{,}29\).
Модули отклонений от среднего \(4{,}5\): \(3{,}5;\ 2{,}5;\ 1{,}5;\ 0{,}5;\ 0{,}5;\ 1{,}5;\ 2{,}5;\ 3{,}5\). Сравним их с \(S\) по квадратам: \(0{,}5^2 = 0{,}25\) и \(1{,}5^2 = 2{,}25\) меньше, чем \(5{,}25\), а \(2{,}5^2 = 6{,}25\) и \(3{,}5^2 = 12{,}25\) больше. Значит, стандартного отклонения не превышают отклонения \(0{,}5\) и \(1{,}5\), а такие отклонения у чисел 3, 4, 5 и 6.
Ответ: размах равен 7, дисперсия \(S^2 = 5{,}25\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{5{,}25} \approx 2{,}29\); отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения у чисел 3, 4, 5 и 6.
Найдите размах, дисперсию и стандартное отклонение числового набора:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Для каких значений ряда отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения?
В наборе восемь чисел. Наибольшее из них 8, наименьшее 1, поэтому размах равен \(8 - 1 = 7\).
Среднее арифметическое:
\[\overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{8} = \frac{36}{8} = 4{,}5.\]
Дисперсию найдём через средний квадрат. Среднее арифметическое квадратов чисел набора:
\[\overline{x^2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64}{8} = \frac{204}{8} = 25{,}5.\]
Тогда \(S^2 = \overline{x^2} - (\overline{x})^2 = 25{,}5 - 4{,}5^2 = 25{,}5 - 20{,}25 = 5{,}25\), а стандартное отклонение \(S = \sqrt{5{,}25} \approx 2{,}29\).
Отклонения чисел набора от среднего \(4{,}5\) по модулю равны \(3{,}5;\ 2{,}5;\ 1{,}5;\ 0{,}5;\ 0{,}5;\ 1{,}5;\ 2{,}5;\ 3{,}5\). Сравнить их со стандартным отклонением удобно по квадратам: \(0{,}5^2 = 0{,}25\) и \(1{,}5^2 = 2{,}25\) меньше, чем \(5{,}25\), а \(2{,}5^2 = 6{,}25\) и \(3{,}5^2 = 12{,}25\) больше. Значит, отклонение \(0{,}5\) и отклонение \(1{,}5\) не превышают \(S\), а отклонения \(2{,}5\) и \(3{,}5\) превышают. Отклонения \(0{,}5\) и \(1{,}5\) имеют числа 3, 4, 5 и 6.
Ответ: размах равен 7, дисперсия \(S^2 = 5{,}25\), стандартное отклонение \(S = \sqrt{5{,}25} \approx 2{,}29\); отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения у чисел 3, 4, 5 и 6.
