Страница 36 номер 40, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика

Глава 1. Представление данных и описательная статистика. §2. Описательная статистика. Страница 36. Номер 40

Решение:

1) В ряду \(2;\ 8;\ 16;\ 24;\ 30;\ 40\) все шесть чисел различны, моды нет.

\[\bar{x} = \frac{2 + 8 + 16 + 24 + 30 + 40}{6} = \frac{120}{6} = 20.\]

Посередине стоят третье и четвёртое числа: медиана равна \(\frac{16 + 24}{2} = 20\).

а) Каждое число ряда \(12;\ 18;\ 26;\ 34;\ 40;\ 50\) на 10 больше соответствующего числа исходного ряда, поэтому среднее и медиана больше на 10, а моды по-прежнему нет. Проверка: \(\bar{x} = \frac{12 + 18 + 26 + 34 + 40 + 50}{6} = \frac{180}{6} = 30\), медиана равна \(\frac{26 + 34}{2} = 30\).

б) Каждое число ряда \(20;\ 80;\ 160;\ 240;\ 300;\ 400\) в 10 раз больше соответствующего числа исходного ряда, поэтому среднее и медиана больше в 10 раз, моды снова нет. Проверка: \(\bar{x} = \frac{20 + 80 + 160 + 240 + 300 + 400}{6} = \frac{1200}{6} = 200\), медиана равна \(\frac{160 + 240}{2} = 200\).

2) а) Если ко всем членам ряда прибавить одно и то же число \(a\), сумма увеличится на \(n \cdot a\), поэтому среднее арифметическое вырастет на \(a\). Порядок чисел не изменится, посередине останутся те же члены ряда, увеличенные на \(a\), — медиана тоже вырастет на \(a\); самое частое значение останется самым частым, поэтому и мода увеличится на \(a\).

б) Если все члены ряда умножить на одно и то же число \(k\), сумма умножится на \(k\), значит, на \(k\) умножится и среднее арифметическое. Стоявшие посередине числа останутся посередине, повторяющиеся значения — повторяющимися, поэтому медиана и мода тоже умножатся на \(k\).

Ответ: 1) у ряда \(2;\ 8;\ 16;\ 24;\ 30;\ 40\) среднее арифметическое равно 20, медиана равна 20, моды нет; а) среднее арифметическое 30, медиана 30, моды нет; б) среднее арифметическое 200, медиана 200, моды нет; 2) а) все средние характеристики увеличатся на прибавленное число; б) все средние характеристики умножатся на это число.

Решение:

1) В ряду \(2;\ 8;\ 16;\ 24;\ 30;\ 40\) все шесть чисел различны, поэтому моды у него нет. Среднее арифметическое:
\[\bar{x} = \frac{2 + 8 + 16 + 24 + 30 + 40}{6} = \frac{120}{6} = 20.\]
Чисел шесть, посередине стоят третье и четвёртое, поэтому медиана равна \(\frac{16 + 24}{2} = 20\).

а) Каждое число ряда \(12;\ 18;\ 26;\ 34;\ 40;\ 50\) на 10 больше соответствующего числа исходного ряда, поэтому среднее и медиана должны стать больше на 10, а моды по-прежнему не будет. Проверка: \(\bar{x} = \frac{12 + 18 + 26 + 34 + 40 + 50}{6} = \frac{180}{6} = 30\), а медиана равна \(\frac{26 + 34}{2} = 30\).

б) Каждое число ряда \(20;\ 80;\ 160;\ 240;\ 300;\ 400\) в 10 раз больше соответствующего числа исходного ряда, поэтому среднее и медиана должны стать больше в 10 раз, а моды снова не будет. Проверка: \(\bar{x} = \frac{20 + 80 + 160 + 240 + 300 + 400}{6} = \frac{1200}{6} = 200\), а медиана равна \(\frac{160 + 240}{2} = 200\).

2) а) Если ко всем членам ряда прибавить одно и то же число \(a\), то сумма увеличится на \(n \cdot a\), а среднее арифметическое — на \(a\). Порядок чисел при этом не изменится, поэтому посередине останутся те же члены ряда, увеличенные на \(a\), — медиана тоже вырастет на \(a\). Не изменится и то, какое значение встречается чаще всех, поэтому мода увеличится на \(a\).

б) Если все члены ряда умножить на одно и то же число \(k\), то сумма умножится на \(k\), значит, на \(k\) умножится и среднее арифметическое. Числа, стоявшие посередине, останутся посередине, а повторяющиеся значения останутся повторяющимися, поэтому медиана и мода тоже умножатся на \(k\).