Вопросы к пункту 7 «Дисперсия и стандартное отклонение» на странице 41, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 7 «Дисперсия и стандартное отклонение».
Оно равно нулю у любого числового набора: сумма всех отклонений от среднего обращается в нуль.
\[(x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \ldots + (x_n - \bar{x}) = (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - n \cdot \bar{x} = n \cdot \bar{x} - n \cdot \bar{x} = 0.\]
Положительные отклонения полностью компенсируют отрицательные, поэтому мерой разброса среднее отклонение служить не может — вместо него отклонения возводят в квадрат и получают дисперсию.
Ответ: среднее отклонение от среднего у любого числового набора равно 0.
Дисперсия набора — среднее арифметическое квадратов отклонений его чисел от среднего значения:
\[S^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}.\]
Она никогда не бывает отрицательной, и чем сильнее числа набора разбросаны вокруг среднего, тем она больше. У набора \(1;\ 3;\ 5\) среднее равно 3, отклонения равны \(-2\); 0; 2, дисперсия равна \(\frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3}\).
Ответ: дисперсия \(S^2\) — среднее арифметическое квадратов отклонений чисел набора от их среднего арифметического.
Размах равен 0 — наибольшее и наименьшее значения совпадают, а все остальные числа заключены между ними, значит, все числа набора одинаковы.
Дисперсия равна 0 — равна нулю сумма квадратов отклонений, а каждое слагаемое в ней неотрицательно, поэтому все они равны нулю: каждое число набора равно среднему, и снова все числа одинаковы.
Верно и обратное: у набора из одинаковых чисел и размах, и дисперсия равны нулю.
Ответ: и в том, и в другом случае все числа набора одинаковы.
Отклонения возводятся в квадрат, поэтому единицы измерения дисперсии «квадратные»: данные в рублях — дисперсия в «квадратных рублях», данные в сантиметрах — в квадратных сантиметрах. Исходные единицы возвращает стандартное отклонение \(S = \sqrt{S^2}\).
Ответ: дисперсия измеряется в квадратах тех единиц, в которых измерен набор; исходные единицы возвращает стандартное отклонение.
Вопросы к пункту 7 «Дисперсия и стандартное отклонение».
Оно равно нулю у любого числового набора. Сумма всех отклонений от среднего обращается в нуль:
\[(x_1 - \bar{x}) + (x_2 - \bar{x}) + \ldots + (x_n - \bar{x}) = (x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - n \cdot \bar{x} = n \cdot \bar{x} - n \cdot \bar{x} = 0.\]
Разделив нуль на \(n\), снова получаем нуль. Положительные отклонения полностью компенсируют отрицательные, поэтому мерой разброса среднее отклонение служить не может — вместо него отклонения возводят в квадрат и получают дисперсию.
Ответ: среднее отклонение от среднего у любого числового набора равно 0.
Дисперсией числового набора называют среднее арифметическое квадратов отклонений его чисел от среднего значения:
\[S^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}.\]
Дисперсия никогда не бывает отрицательной, и чем сильнее числа набора разбросаны вокруг среднего, тем она больше. Например, у набора \(1;\ 3;\ 5\) среднее равно 3, отклонения равны \(-2\); 0; 2, и дисперсия равна \(\frac{4 + 0 + 4}{3} = \frac{8}{3}\).
Ответ: дисперсия \(S^2\) — среднее арифметическое квадратов отклонений чисел набора от их среднего арифметического.
Если размах равен 0, то наибольшее и наименьшее значения набора совпадают, а все остальные числа заключены между ними — значит, все числа набора одинаковы.
Если дисперсия равна 0, то равна нулю сумма квадратов отклонений. Каждое слагаемое в ней неотрицательно, поэтому все они равны нулю, то есть каждое число набора равно среднему — и снова все числа одинаковы.
Верно и обратное: у набора из одинаковых чисел и размах, и дисперсия равны нулю.
Ответ: и в том, и в другом случае все числа набора одинаковы.
При вычислении дисперсии отклонения возводятся в квадрат, поэтому её единицы измерения оказываются «квадратными»: если данные измерены в рублях, дисперсия выражается в «квадратных рублях», а если в сантиметрах — в квадратных сантиметрах. Чтобы вернуться к исходным единицам, из дисперсии извлекают квадратный корень и получают стандартное отклонение \(S = \sqrt{S^2}\): оно измеряется в тех же единицах, что и сами данные.
Ответ: дисперсия измеряется в квадратах тех единиц, в которых измерен набор; исходные единицы возвращает стандартное отклонение.
