Вопросы к пункту 8 «Формула для вычисления дисперсии» на странице 42, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 8 «Формула для вычисления дисперсии».
По определению:
\[S^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}.\]
Через средний квадрат чисел набора \(\overline{x^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}\):
\[S^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2.\]
Второй способ удобнее, когда числа набора целые, а их среднее арифметическое дробное: в квадрат приходится возводить только целые числа.
Ответ: \(S^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}\) и \(S^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2\).
\(\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5\) — среднее арифметическое.
\(\overline{x^2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5\) — средний квадрат.
\[S^2 = 7{,}5 - 2{,}5^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25.\]
Ответ: дисперсия набора \(1;\ 2;\ 3;\ 4\) равна \(1{,}25\).
Дисперсия любого набора неотрицательна, а по новой формуле она равна \(\overline{x^2} - (\bar{x})^2\), значит, средний квадрат чисел набора не меньше квадрата их среднего:
\[\overline{x^2} \geqslant (\bar{x})^2.\]
Равенство означает, что дисперсия равна нулю, а это бывает только тогда, когда все числа набора одинаковы.
Ответ: \(\overline{x^2} \geqslant (\bar{x})^2\); равенство достигается только тогда, когда все числа набора одинаковы.
Стандартное (среднее квадратичное) отклонение набора — квадратный корень из дисперсии: \(S = \sqrt{S^2}\). Оно измеряется в тех же единицах, что и сами данные. Обычно в промежуток \([\bar{x} - S;\ \bar{x} + S]\) попадает больше половины чисел набора, а в промежуток \([\bar{x} - 3S;\ \bar{x} + 3S]\) — практически все.
Ответ: стандартное отклонение \(S\) — квадратный корень из дисперсии; оно выражено в тех же единицах, что и данные, и служит мерой их разброса вокруг среднего.
Вопросы к пункту 8 «Формула для вычисления дисперсии».
По определению дисперсия — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего:
\[S^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}.\]
Вторая формула выражает дисперсию через средний квадрат чисел набора \(\overline{x^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}\):
\[S^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2.\]
Второй способ удобнее, когда числа набора целые, а их среднее арифметическое дробное: в квадрат приходится возводить только целые числа.
Ответ: \(S^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}\) и \(S^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2\).
Среднее арифметическое набора равно \(\frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5\), а средний квадрат равен \(\overline{x^2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5\). Тогда
\[S^2 = 7{,}5 - 2{,}5^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25.\]
Ответ: дисперсия набора \(1;\ 2;\ 3;\ 4\) равна \(1{,}25\).
Дисперсия любого набора неотрицательна, а по новой формуле она равна \(\overline{x^2} - (\bar{x})^2\). Значит, средний квадрат чисел набора не меньше квадрата их среднего:
\[\overline{x^2} \geqslant (\bar{x})^2.\]
Равенство означает, что дисперсия равна нулю, а это бывает только тогда, когда все числа набора одинаковы.
Ответ: \(\overline{x^2} \geqslant (\bar{x})^2\); равенство достигается только тогда, когда все числа набора одинаковы.
Стандартным (или средним квадратичным) отклонением числового набора называют квадратный корень из дисперсии: \(S = \sqrt{S^2}\). В отличие от дисперсии, оно измеряется в тех же единицах, что и сами данные, и потому его удобно сравнивать с самими числами набора. Обычно в промежуток \([\bar{x} - S;\ \bar{x} + S]\) попадает больше половины чисел набора, а в промежуток \([\bar{x} - 3S;\ \bar{x} + 3S]\) — практически все.
Ответ: стандартное отклонение \(S\) — квадратный корень из дисперсии; оно выражено в тех же единицах, что и данные, и служит мерой их разброса вокруг среднего.
