Вопросы к пункту 5 «Среднее гармоническое» на странице 34, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 5 «Среднее гармоническое».

Средним гармоническим набора из \(n\) положительных чисел \(x_1\), …, \(x_n\) называют такое число \(H\), для которого выполняется равенство
\[\frac{n}{H} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}.\]
Отсюда получается явная формула
\[H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}.\]
Для двух чисел \(a\) и \(b\) она принимает вид \(H = \frac{2ab}{a + b}\), для трёх чисел \(a\), \(b\), \(c\) — вид \(H = \frac{3abc}{ab + bc + ac}\).

Ответ: среднее гармоническое — такое число \(H\), что \(\frac{n}{H}\) равно сумме чисел, обратных числам набора; для двух чисел \(H = \frac{2ab}{a + b}\).

Во-первых, среднее гармоническое набора из одинаковых чисел равно этому числу. Во-вторых, оно всегда лежит между наименьшим и наибольшим числами набора. В-третьих, оно не превосходит среднего арифметического того же набора, причём равенство достигается только тогда, когда все числа набора одинаковы. Так, для чисел 2 и 4 среднее гармоническое равно \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\), а среднее арифметическое равно 3.

Ответ: среднее гармоническое одинаковых чисел равно этому числу; оно лежит между наименьшим и наибольшим числами набора и не превосходит среднего арифметического, совпадая с ним только у набора из одинаковых чисел.

а) Чисел три, каждое обратное равно \(\frac{1}{2}\):
\[H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2.\]

б) Числа, обратные к \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{4}\), равны 2 и 4:
\[H = \frac{2}{2 + 4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]

в) По формуле для двух чисел:
\[H = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4}{2 + 4} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67.\]

Ответ: а) 2; б) \(\frac{1}{3}\); в) \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\).

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время движения, а не среднее арифметическое двух данных скоростей. Обозначим длину половины пути через \(s\). Первую половину автомобиль ехал \(\frac{s}{60}\) ч, вторую — \(\frac{s}{40}\) ч, а весь путь равен \(2s\). Тогда
\[\bar{v} = \frac{2s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{40}} = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = 48 \text{ (км/ч)}.\]
Полученное число — среднее гармоническое двух данных скоростей; оно меньше их среднего арифметического, равного 50 км/ч, потому что на медленной половине пути автомобиль провёл больше времени.

Ответ: средняя скорость автомобиля равна 48 км/ч.