Страница 192 номер 834, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = \frac{3x + 5}{3x^2 + 5x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Так как \(3x^2 + 5x = x(3x + 5)\), знаменатель дроби равен нулю при \(x = 0\) и при \(x = -\frac{5}{3}\) — там функция не определена. При остальных \(x\) множитель \(3x + 5\) не равен нулю — сократим на него дробь: \[\frac{3x + 5}{3x^2 + 5x} = \frac{3x + 5}{x(3x + 5)} = \frac{1}{x}.\] График — гипербола \(y = \frac{1}{x}\) с выколотой точкой \(\left(-\frac{5}{3}; -0{,}6\right)\): \(1 : \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{3}{5} = -0{,}6\).
Ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) лежат в I и III четвертях, её асимптоты — оси координат. \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -2 & 2 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Абсциссы общих точек прямой \(y = kx\) и графика — корни уравнения \(\frac{1}{x} = kx\), отличные от \(-\frac{5}{3}\); умножив обе его части на \(x \ne 0\), получим \(kx^2 = 1\).
При \(k \leqslant 0\) левая часть уравнения \(kx^2 = 1\) неположительна, поэтому уравнение корней не имеет — общих точек нет.
При \(k > 0\) уравнение \(kx^2 = 1\), то есть \(x^2 = \frac{1}{k}\), имеет два корня — противоположные числа: общих точек две, если ни один из корней не равен \(-\frac{5}{3}\), и одна, если один из корней равен \(-\frac{5}{3}\).
Число \(-\frac{5}{3}\) является корнем при \(\frac{1}{k} = \frac{25}{9}\), то есть при \(k = \frac{9}{25} = 0{,}36\): прямая \(y = 0{,}36x\) проходит через выколотую точку \(\left(-\frac{5}{3}; -0{,}6\right)\), и её единственная общая точка с графиком — точка \(\left(\frac{5}{3}; 0{,}6\right)\).
Ответ: \(k = 0{,}36\).
Постройте график функции \(y = \frac{3x + 5}{3x^2 + 5x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Функция не определена, если знаменатель дроби \(\frac{3x + 5}{3x^2 + 5x}\) равен нулю. Так как \(3x^2 + 5x = x(3x + 5)\), это происходит при \(x = 0\) и при \(x = -\frac{5}{3}\). При остальных значениях \(x\) множитель \(3x + 5\) не равен нулю, и на него можно сократить дробь: \[\frac{3x + 5}{3x^2 + 5x} = \frac{3x + 5}{x(3x + 5)} = \frac{1}{x}.\] Следовательно, графиком функции является гипербола \(y = \frac{1}{x}\) с выколотой точкой, абсцисса которой равна \(-\frac{5}{3}\). Ордината этой точки — значение выражения \(\frac{1}{x}\) при \(x = -\frac{5}{3}\): \(1 : \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{3}{5} = -0{,}6\). Значит, выколота точка \(\left(-\frac{5}{3}; -0{,}6\right)\).
Ветви гиперболы \(y = \frac{1}{x}\) лежат в I и III координатных четвертях, её асимптоты — оси координат. Найдём координаты нескольких точек: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -2 & 2 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Построим график функции, выколов из него точку \(\left(-\frac{5}{3}; -0{,}6\right)\), и прямую \(y = 0{,}36x\).
При каждом значении \(k\) графиком функции \(y = kx\) является прямая, проходящая через начало координат. Абсциссы общих точек этой прямой и графика — корни уравнения \(\frac{1}{x} = kx\), отличные от \(-\frac{5}{3}\). Умножив обе части уравнения на \(x \ne 0\), получим \(kx^2 = 1\).
При \(k \leqslant 0\) левая часть уравнения \(kx^2 = 1\) неположительна, поэтому уравнение корней не имеет, и общих точек нет.
При \(k > 0\) уравнение \(kx^2 = 1\), то есть \(x^2 = \frac{1}{k}\), имеет два корня — противоположные числа. Общих точек тогда две, если ни один из корней не равен \(-\frac{5}{3}\), и одна, если один из корней равен \(-\frac{5}{3}\). Число \(-\frac{5}{3}\) является корнем при \(\frac{1}{k} = \frac{25}{9}\), то есть при \(k = \frac{9}{25} = 0{,}36\): прямая \(y = 0{,}36x\) проходит через выколотую точку \(\left(-\frac{5}{3}; -0{,}6\right)\), и её единственная общая точка с графиком — точка \(\left(\frac{5}{3}; 0{,}6\right)\).
Таким образом, прямая \(y = kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку при \(k = 0{,}36\).
Ответ: \(k = 0{,}36\).
