Страница 128 номер 557, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите неравенство: а) \(3x - x^2 > 0\); б) \(49x^2 \ge 36\); в) \((x + 3)(x - 6) > 0\).
а) При умножении на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный: \[\begin{aligned} 3x - x^2 &> 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 3x &< 0; \\ x(x - 3) &< 0. \end{aligned}\] Произведение обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = 3\). При \(x > 3\) оба множителя \(x\) и \(x - 3\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((0; 3)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; 0)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому числа 0 и 3 в решение не входят: множество решений — \((0; 3)\).
б) \[\begin{aligned} 49x^2 &\geqslant 36; \\ 49x^2 - 36 &\geqslant 0; \\ (7x - 6)(7x + 6) &\geqslant 0. \end{aligned}\] Множитель \(7x - 6\) обращается в нуль при \(x = \frac{6}{7}\), множитель \(7x + 6\) — при \(x = -\frac{6}{7}\). При \(x > \frac{6}{7}\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек \(\frac{6}{7}\) и \(-\frac{6}{7}\) меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \(\left(-\frac{6}{7}; \frac{6}{7}\right)\) оно отрицательно, на промежутке \(\left(-\infty; -\frac{6}{7}\right)\) — положительно.
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-\frac{6}{7}\) и \(\frac{6}{7}\) входят в решение: множество решений — \(\left(-\infty; -\frac{6}{7}\right] \cup \left[\frac{6}{7}; +\infty\right)\).
в) Произведение обращается в нуль при \(x = -3\) и при \(x = 6\). При \(x > 6\) оба множителя \(x + 3\) и \(x - 6\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; 6)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно.
Неравенство строгое, поэтому числа \(-3\) и 6 в решение не входят: множество решений — \((-\infty; -3) \cup (6; +\infty)\).
Ответ: а) \((0; 3)\); б) \(\left(-\infty; -\frac{6}{7}\right] \cup \left[\frac{6}{7}; +\infty\right)\); в) \((-\infty; -3) \cup (6; +\infty)\).
Решите неравенство: а) \(3x - x^2 > 0\); б) \(49x^2 \ge 36\); в) \((x + 3)(x - 6) > 0\).
а) Умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный, и вынесем \(x\) за скобки: \[\begin{aligned} 3x - x^2 &> 0; \qquad | \cdot (-1) \\ x^2 - 3x &< 0; \\ x(x - 3) &< 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x = 3\). При \(x > 3\) оба множителя \(x\) и \(x - 3\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((0; 3)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; 0)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа 0 и 3 в решение не входят: множество решений — \((0; 3)\).
б) Перенесём 36 в левую часть и разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: \[\begin{aligned} 49x^2 &\geqslant 36; \\ 49x^2 - 36 &\geqslant 0; \\ (7x - 6)(7x + 6) &\geqslant 0. \end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов. Множитель \(7x - 6\) обращается в нуль при \(x = \frac{6}{7}\), множитель \(7x + 6\) — при \(x = -\frac{6}{7}\). При \(x > \frac{6}{7}\) оба множителя положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из точек \(\frac{6}{7}\) и \(-\frac{6}{7}\) меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \(\left(-\frac{6}{7}; \frac{6}{7}\right)\) оно отрицательно, на промежутке \(\left(-\infty; -\frac{6}{7}\right)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство нестрогое, поэтому числа \(-\frac{6}{7}\) и \(\frac{6}{7}\), в которых произведение равно нулю, входят в решение: множество решений — \(\left(-\infty; -\frac{6}{7}\right] \cup \left[\frac{6}{7}; +\infty\right)\).
в) Решим неравенство методом интервалов. Произведение обращается в нуль при \(x = -3\) и при \(x = 6\). При \(x > 6\) оба множителя \(x + 3\) и \(x - 6\) положительны, поэтому произведение положительно. При переходе через каждую из этих точек меняет знак ровно один множитель (каждый стоит в первой степени), поэтому знак произведения меняется: на промежутке \((-3; 6)\) оно отрицательно, на промежутке \((-\infty; -3)\) — положительно.
Отметим точки на числовой прямой, расставим знаки и выделим штриховкой решение неравенства:
Неравенство строгое, поэтому числа \(-3\) и 6 в решение не входят: множество решений — \((-\infty; -3) \cup (6; +\infty)\).
Ответ: а) \((0; 3)\); б) \(\left(-\infty; -\frac{6}{7}\right] \cup \left[\frac{6}{7}; +\infty\right)\); в) \((-\infty; -3) \cup (6; +\infty)\).
